Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Bileşen Skorları

Üç değişkenli (X1,X2,X3X_1, X_2, X_3) bir veri setinde değişkenlerin ortalamaları sırasıyla Xˉ=[10,8,15]T\bar{X} = [10, 8, 15]^T ve standart sapmaları S=[4,2,5]TS = [4, 2, 5]^T olarak hesaplanmıştır.

Bu veri seti üzerinden korelasyon matrisi kullanılarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda birinci temel bileşene ait özdeğer λ1=1.5\lambda_1 = 1.5 ve bu bileşene karşılık gelen standartlaştırılmış özvektör v1=[23,−13,23]Tv_1 = \left[ \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right]^T olarak elde edilmiştir.

Veri setindeki belirli bir gözlem biriminin başlangıç (ham) değerleri X=[22,2,22.5]TX = [22, 2, 22.5]^T olduğuna göre, bu gözlem biriminin birinci temel bileşen skoru (Y1Y_1) ile tüm veri seti için birinci temel bileşen skorlarının varyansı (Var(Y1)Var(Y_1)) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. Y1=4Y_1 = 4 ; Var(Y1)=1.5Var(Y_1) = 1.5Answer
  2. B
    Y1=15Y_1 = 15 ; Var(Y1)=1.5Var(Y_1) = 1.5
  3. C
    Y1=29Y_1 = 29 ; Var(Y1)=1.5Var(Y_1) = 1.5
  4. D
    Y1=4Y_1 = 4 ; Var(Y1)=0.5Var(Y_1) = 0.5
  5. E
    Y1=15Y_1 = 15 ; Var(Y1)=0.5Var(Y_1) = 0.5

Answer

Birinci temel bileşen skoru 4 ve skorların varyansı 1.5'tir.
Verilen problemde analiz korelasyon matrisi üzerinden yapıldığından, skorlar hesaplanırken ham değerler Z=X−XˉSZ = \frac{X - \bar{X}}{S} formülüyle standartlaştırılmalıdır. Standartlaştırma sonucu elde edilen Z=[3,−3,1.5]TZ = [3, -3, 1.5]^T vektörü ile v1v_1 özvektörünün iç çarpımı, bize 4 değerini verir. Ayrıca teorik olarak bir temel bileşenin varyansı doğrudan o bileşenin özdeğerine eşittir, bu nedenle Var(Y1)=1.5Var(Y_1) = 1.5 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Gözlem değerlerini standartlaştırma (ZZ değerlerini bulma)
Z1=22−104=3Z_1 = \frac{22 - 10}{4} = 3, Z2=2−82=−3Z_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3, Z3=22.5−155=1.5  ⟹  Z=[3,−3,1.5]TZ_3 = \frac{22.5 - 15}{5} = 1.5 \implies Z = [3, -3, 1.5]^T
TBA korelasyon matrisi üzerinden uygulandığı için, temel bileşen skorları birimsiz olan standartlaştırılmış ZZ değişkenleri kullanılarak hesaplanmalıdır.
2
Birinci temel bileşen skorunu (Y1Y_1) hesaplama
Y1=v1TZ=(23×3)+(−13×−3)+(23×1.5)=2+1+1=4Y_1 = v_1^T Z = \left(\frac{2}{3} \times 3\right) + \left(-\frac{1}{3} \times -3\right) + \left(\frac{2}{3} \times 1.5\right) = 2 + 1 + 1 = 4
Bir gözlem biriminin temel bileşen skoru, ilgili bileşenin özvektörü ile standartlaştırılmış gözlem vektörünün iç çarpımıdır.
3
Temel bileşen skorlarının varyansını (Var(Y1)Var(Y_1)) belirleme
Var(Y1)=λ1=1.5Var(Y_1) = \lambda_1 = 1.5
Temel bileşenler analizinin matematiksel özelliklerine göre, elde edilen her bir temel bileşenin varyansı, o bileşene karşılık gelen özdeğere eşittir.

Key Concept

Temel Bileşen Skorlarının Hesaplanması ve Özellikleri
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Skorları

More questions from this topic