Examkin

Question

Difficulty: HardChebyshev Eşitsizliği

Bir fabrikada üretilen günlük ürün miktarı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in beklenen değeri E[X]=120E[X] = 120 ve varyansı Var(X)=25Var(X) = 25 olarak verilmiştir.

Üretilen ürünlerin satışından elde edilen günlük gelir (TL cinsinden) Y=4X+100Y = 4X + 100 denklemi ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, Chebyshev eşitsizliği kullanıldığında günlük gelirin 520520 TL ile 640640 TL arasında olma olasılığı en az kaçtır?

  1. A
    19\frac{1}{9}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 89\frac{8}{9}Answer
  4. D
    3136\frac{31}{36}
  5. E
    3536\frac{35}{36}

Answer

Günlük gelirin belirtilen aralıkta olma olasılığının alt sınırı 89\frac{8}{9} olarak bulunur.
Doğru yanıt, günlük gelirin Y=4X+100Y = 4X + 100 denklemi ile oluşturulmasının ardından beklenen değerinin 580580 ve varyansının 400400 (standart sapmasının 2020) olarak doğru şekilde hesaplanmasıyla bulunur. İstenen 520520 ile 640640 arasındaki değerler, 580580 ortalamasından 6060 birim uzaklıktadır. Bu uzaklık, standart sapmanın (2020) tam 33 katıdır (k=3k=3). Chebyshev eşitsizliği uyarınca, rastgele bir değişkenin ortalamasından kk standart sapma uzaklıktaki bir aralıkta yer alma olasılığı daima en az 1−1/k21 - 1/k^2 olur. k=3k=3 için bu değer 1−1/32=1−1/9=8/91 - 1/3^2 = 1 - 1/9 = 8/9 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
YY rastgele değişkeninin beklenen değerini hesapla.
E[Y]=E[4X+100]=4E[X]+100=4(120)+100=580E[Y] = E[4X + 100] = 4E[X] + 100 = 4(120) + 100 = 580
Chebyshev eşitsizliğini uygulayabilmek için öncelikle yeni değişkenin ortalamasına (beklenen değerine) ihtiyaç vardır.
2
YY rastgele değişkeninin varyansını ve standart sapmasını hesapla.
Var(Y)=Var(4X+100)=42×Var(X)=16×25=400Var(Y) = Var(4X + 100) = 4^2 \times Var(X) = 16 \times 25 = 400. Buradan standart sapma σY=400=20\sigma_Y = \sqrt{400} = 20 bulunur.
Eşitsizlikte sapma miktarını standart sapma cinsinden (kσk\sigma) ifade edebilmek için YY'nin standart sapması bulunmalıdır.
3
Verilen aralığın ortalamadan ne kadar saptığını bularak kk değerini belirle.
Aralık (520,640)(520, 640) olarak verilmiştir. 580−520=60580 - 520 = 60 ve 640−580=60640 - 580 = 60 olduğundan sapma miktarı c=60c = 60'tır. c=kσY  ⟹  60=k×20  ⟹  k=3c = k\sigma_Y \implies 60 = k \times 20 \implies k = 3.
Aralığın sınırları ortalamadan eşit uzaklıktadır. Chebyshev formülündeki kk (standart sapma çarpanı) değerini bulmak için toplam sapma standart sapmaya bölünür.
4
Chebyshev eşitsizliğini kullanarak olasılığın alt sınırını hesapla.
P(∣Y−μY∣<kσY)≥1−1k2  ⟹  P(∣Y−580∣<60)≥1−132=1−19=89P(|Y - \mu_Y| < k\sigma_Y) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \implies P(|Y - 580| < 60) \ge 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.
Bir rastgele değişkenin ortalamasından kk standart sapma kadar uzaklıktaki bir aralıkta değer alma olasılığı en az 1−1/k21 - 1/k^2 kadardır.

Key Concept

Chebyshev Eşitsizliği ve Varyans Özellikleri
Rate this question

Topics

Chebyshev Eşitsizliği

More questions from this topic