Examkin

Question

Difficulty: HardYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir ekosistem araştırmasında, belirli bir bitki türünün doğal yaşam alanındaki bireyleri arasındaki en yakın komşu mesafeleri (XX, metre cinsinden) incelenmektedir. Bu mesafelerin dağılımının aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğu varsayılmaktadır:

f(x;θ)={θ(1+x)−(θ+1),x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta (1+x)^{-(\theta+1)}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.
Bu yaşam alanından rastgele seçilen nn adet bitki bireyi için komşu mesafeleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak ölçülmüştür.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    max⁡1≤i≤nXi\max_{1 \leq i \leq n} X_i
  3. ∑i=1nln⁡(1+Xi)\sum_{i=1}^n \ln(1+X_i)Answer
  4. D
    ∑i=1n(1+Xi)\sum_{i=1}^n (1+X_i)
  5. E
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i

Answer

Doğru istatistik ∑i=1nln⁡(1+Xi)\sum_{i=1}^n \ln(1+X_i) ifadesidir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde iki fonksiyonun çarpımı olarak yazılabilmelidir. Verilen dağılımın olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde, g(T(x),θ)=θnexp⁡(−θ∑ln⁡(1+xi))g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n \exp(-\theta \sum \ln(1+x_i)) ve h(x)=∏(1+xi)−1h(\mathbf{x}) = \prod (1+x_i)^{-1} elde edilir. Parametre θ\theta ile örneklem x\mathbf{x} sadece ∑ln⁡(1+xi)\sum \ln(1+x_i) terimi üzerinden bir arada bulunduğundan, yeterli istatistik bu toplam ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazma.
L(θ;x)=∏i=1nθ(1+xi)−(θ+1)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \theta (1+x_i)^{-(\theta+1)}
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulamak için tüm gözlemlerin ortak dağılımına ihtiyaç vardır.
2
Çarpım sembolünü dağıtarak olabilirlik fonksiyonunu düzenleme.
L(θ;x)=θn∏i=1n(1+xi)−θ⋅∏i=1n(1+xi)−1L(\theta; \mathbf{x}) = \theta^n \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-\theta} \cdot \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-1}
Parametreye (θ\theta) bağlı olan terimler ile sadece gözlemlere bağlı olan terimleri birbirinden ayırmak hedeflenir.
3
Parametreye bağlı çarpım ifadesini üstel fonksiyon (exp) ve logaritma kullanarak toplama dönüştürme.
L(θ;x)=θnexp⁡(−θ∑i=1nln⁡(1+xi))∏i=1n(1+xi)−1L(\theta; \mathbf{x}) = \theta^n \exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \ln(1+x_i)\right) \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-1}
Üstel yapıya geçirildiğinde yeterli istatistik T(x)T(\mathbf{x}) doğrudan görülebilir hale gelir.
4
Neyman teoremine göre g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) ve h(x)h(\mathbf{x}) fonksiyonlarını belirleme.
g(T(x),θ)=θnexp⁡(−θ∑i=1nln⁡(1+xi))g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n \exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \ln(1+x_i)\right) ve h(x)=∏i=1n(1+xi)−1h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n (1+x_i)^{-1} olarak bulunur.
gg fonksiyonu içinde örneklem değerleri sadece ∑i=1nln⁡(1+xi)\sum_{i=1}^n \ln(1+x_i) fonksiyonu aracılığıyla θ\theta ile etkileşime girmektedir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem)
Rate this question

Topics

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic