Bir pazar araştırmasında, üç değişkenli (X_1, X_2, X_3) bir veri seti için örneklem kovary… — KPSS İstatistik

Bir pazar araştırmasında, üç değişkenli ( $X_1, X_2, X_3$ ) bir veri seti için örneklem kovaryans matrisine dayalı Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 50$ , $\lambda_2 = 18$ ve $\lambda_3 = 7$ olarak bulunmuştur.

Orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan ikinci temel bileşen (

Y_2

) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Y_2 = \frac{2}{7} X_1 + a_{22} X_2 + \frac{6}{7} X_3

Temel bileşen katsayılarının (özvektör elemanlarının) normalize edildiği (kareleri toplamının 1'e eşit olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, ikinci temel bileşenin varyansı ( $Var(Y_2)$ ) ve $a_{22}$ katsayısının alabileceği pozitif değer aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

A
$50$ ve $\frac{3}{7}$
B
$18$ ve $\frac{9}{49}$
$18$ ve $\frac{3}{7}$ Answer
D
$0,24$ ve $\frac{3}{7}$
E
$75$ ve $\frac{9}{49}$

Answer

İkinci temel bileşenin varyansı 18, bilinmeyen katsayının pozitif değeri ise 3/7'dir.

Temel Bileşenler Analizinde

i

-inci bileşenin varyansı doğrudan

i

-inci özdeğere (

\lambda_i

) eşittir, bu nedenle

Var(Y_2) = \lambda_2 = 18

'dir. Katsayılar (özvektör) ise kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edilir:

(2/7)^2 + a_{22}^2 + (6/7)^2 = 1

. Buradan

4/49 + 36/49 = 40/49

bulunur ve

a_{22}^2 = 1 - 40/49 = 9/49

kalır. Sayının pozitif değeri istendiğinden

a_{22} = 3/7

doğru yanıttır.

Step-by-Step Solution

İkinci temel bileşenin varyansını belirleme

Var(Y_2) = \lambda_2 = 18

bulunur.

Kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizinde,

i

-inci temel bileşenin varyansı doğrudan kendi özdeğerine (

\lambda_i

) eşittir.

Özvektör normallik (birim uzunluk) şartını yazma

(\frac{2}{7})^2 + a_{22}^2 + (\frac{6}{7})^2 = 1

denklemi kurulur.

Temel bileşen katsayıları (özvektör elemanları), normu 1 olacak şekilde normalize edilir. Bu, doğrusal kombinasyonun katsayılarının kareleri toplamının 1 olması gerektiği anlamına gelir.

Bilinmeyen katsayıyı hesaplama

\frac{4}{49} + a_{22}^2 + \frac{36}{49} = 1 \implies a_{22}^2 + \frac{40}{49} = 1 \implies a_{22}^2 = \frac{9}{49} \implies a_{22} = \frac{3}{7}

elde edilir.

Denklem çözülerek soruda istenilen katsayının pozitif değeri elde edilir.

Key Concept

Temel bileşenlerin varyansının özdeğerlere eşitliği ve özvektörlerin normalize (birim uzunluğa sahip) olma koşulu.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics