Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

İki değişkenli bir (X1,X2)(X_1, X_2) veri seti için hesaplanan örneklem varyans-kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

S=[4112129] S = \begin{bmatrix} 41 & 12 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}

Bu veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulandığında, elde edilecek birinci temel bileşenin (Y1Y_1) doğrusal kombinasyon denklemi ve bu bileşenin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Temel bileşen katsayı vektörlerinin birim uzunluğa sahip olacak şekilde, yani kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edildiği varsayılacaktır.)

  1. A
    Denklem: Y1=3X1+X2Y_1 = 3X_1 + X_2 , Oran: %90\%90
  2. B
    Denklem: Y1=310X1+110X2Y_1 = \frac{3}{\sqrt{10}} X_1 + \frac{1}{\sqrt{10}} X_2 , Oran: %20\%20
  3. Denklem: Y1=310X1+110X2Y_1 = \frac{3}{\sqrt{10}} X_1 + \frac{1}{\sqrt{10}} X_2 , Oran: %90\%90Answer
  4. D
    Denklem: Y1=310X1+110X2Y_1 = \frac{3}{\sqrt{10}} X_1 + \frac{1}{\sqrt{10}} X_2 , Oran: %45\%45
  5. E
    Denklem: Y1=310X1+110X2+ϵ1Y_1 = \frac{3}{\sqrt{10}} X_1 + \frac{1}{\sqrt{10}} X_2 + \epsilon_1 , Oran: %90\%90

Answer

Birinci temel bileşenin denklemi Y1=310X1+110X2Y_1 = \frac{3}{\sqrt{10}} X_1 + \frac{1}{\sqrt{10}} X_2 ve bu bileşenin toplam varyansı açıklama oranı %90\%90'dır.
Toplam varyans, kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının toplamı olan matrisin izidir (41 + 9 = 50). Matrisin özdeğerleri 45 ve 5 olarak bulunur. En yüksek özdeğer birinci bileşene ait olduğundan (45), açıklanan varyans oranı 45/50 = %90'dır. Özdeğeri 45 olan durum için (S−45I)e=0(S-45I)e = 0 denklemi çözüldüğünde [3, 1] yönünde bir vektör elde edilir. Normalize edildiğinde bu vektör [3/10,1/10][3/\sqrt{10}, 1/\sqrt{10}] katsayılarını verir.

Step-by-Step Solution

1
Varyans-kovaryans matrisinin izini (toplam varyans) ve determinantını hesaplamak.
Matrisin İzi = 41+9=5041 + 9 = 50. Matrisin Determinantı = (41×9)−122=369−144=225(41 \times 9) - 12^2 = 369 - 144 = 225.
Özdeğerleri bulabilmek için karakteristik denklemin katsayılarının (iz ve determinant) bilinmesi gerekir.
2
Karakteristik denklemi kurarak matrisin özdeğerlerini bulmak.
λ2−50λ+225=0\lambda^2 - 50\lambda + 225 = 0 denklemi çözüldüğünde (λ−45)(λ−5)=0(\lambda - 45)(\lambda - 5) = 0 elde edilir. Kökler: λ1=45\lambda_1 = 45 ve λ2=5\lambda_2 = 5.
Temel bileşenlerin varyansları, kovaryans matrisinin özdeğerlerine eşittir.
3
Birinci temel bileşene ait açıklanan varyans oranını hesaplamak.
En büyük özdeğer λ1=45\lambda_1 = 45'tir. Açıklanan Oran = λ1I˙z(S)=4550=0.90\frac{\lambda_1}{\text{İz}(S)} = \frac{45}{50} = 0.90 (yani %90\%90).
Birinci temel bileşen, toplam varyansın en büyük kısmını (en büyük özdeğeri) açıklayan bileşendir.
4
En büyük özdeğere (45) karşılık gelen özvektörü (katsayıları) bulmak.
(S−45I)e1=0  ⟹  [−41212−36][e11e12]=[00](S - 45I)\mathbf{e}_1 = 0 \implies \begin{bmatrix} -4 & 12 \\ 12 & -36 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{11} \\ e_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}. Buradan −4e11+12e12=0  ⟹  e11=3e12-4e_{11} + 12e_{12} = 0 \implies e_{11} = 3e_{12} bulunur. Vektör [31]\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} şeklindedir.
Temel bileşenlerin orijinal değişkenlerle olan doğrusal kombinasyonunu katsayılar (özvektörler) belirler.
5
Bulunan özvektörü birim vektör olacak şekilde normalize etmek.
Vektörün uzunluğu 32+12=10\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}'dur. Normalize edilmiş vektör: [310110]\begin{bmatrix} \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}} \end{bmatrix}. Sonuç denklemi: Y1=310X1+110X2Y_1 = \frac{3}{\sqrt{10}} X_1 + \frac{1}{\sqrt{10}} X_2.
TBA'da katsayıların (özvektörlerin) karesel toplamının 1 olması kuralı gereğidir.

Key Concept

Varyans-kovaryans matrisinden karakteristik denklem yardımıyla özdeğer ve özvektörlerin bulunarak doğrusal temel bileşen kombinasyonlarının oluşturulması.
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar