Bir ülkenin çeyreklik bazda hesaplanan tarımsal üretim endeksi (Y_t) analiz edilmektedir. … — KPSS İstatistik

Bir ülkenin çeyreklik bazda hesaplanan tarımsal üretim endeksi ( $Y_t$ ) analiz edilmektedir. Serinin durağanlaştırılması amacıyla hem birinci dereceden hem de mevsimsel ( $s=4$ ) fark alma işlemi uygulanmış ve $W_t = (1-B)(1-B^4)Y_t$ serisi elde edilmiştir.

$W_t$ serisine ait Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) grafikleri incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan gecikmelerde: ACF grafiğinde ilk iki gecikmede ( $k=1, 2$ ) anlamlı sivrilikler görülmüş ve ardından kesilme olmuştur. PACF grafiğinde ise sönümlenerek azalan bir yapı izlenmiştir.
- Mevsimsel gecikmelerde: PACF grafiğinde sadece birinci mevsimsel gecikmede ( $k=4$ ) anlamlı bir sivrilik varken, diğer mevsimsel gecikmelerde ( $k=8, 12, \dots$ ) kesilme olmuştur. ACF grafiğinde ise mevsimsel gecikmelerde yavaşça sönümlenen bir dalgalanma gözlenmiştir.

Buna göre, Box-Jenkins metodolojisi çerçevesinde söz konusu zaman serisi için belirlenen en uygun SARIMA modelinin kapalı form denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ( $B$ , geri kaydırma operatörünü ve $\varepsilon_t$ , beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir.)

A
$(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t$
B
$(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)(1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t$
$(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t$ Answer
D
$(1 - \phi_1 B)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4 - \Theta_2 B^8)\varepsilon_t$
E
$(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t$

Answer

Model, mevsimsel olmayan MA(2) ve mevsimsel AR(1) bileşenlerinden oluşur. Kapalı form denklemi

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

şeklindedir.

Doğru denklem, ACF ve PACF grafiklerindeki davranışlardan elde edilen parametrelerin SARIMA temel denklemine yerleştirilmesiyle oluşturulur. Mevsimsel olmayan kısımdaki ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi

q=2

'yi (MA(2)), mevsimsel PACF'nin ilk mevsimsel gecikmede (

k=4

) kesilmesi ise

P=1

'i (Mevsimsel AR(1)) işaret eder. Durağanlaştırma için soruda verilen birinci ve mevsimsel farklar da

(1-B)(1-B^4)

olarak eşitliğin sol tarafında yer alır. Bu değerler formülde yerine konulduğunda doğru ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Mevsimsel olmayan model bileşenlerinin derecelerinin belirlenmesi.

Mevsimsel olmayan model, 2. dereceden Hareketli Ortalama yani MA(2)'dir (

q=2

p=0

ACF grafiğinin mevsimsel olmayan 2. gecikmeden sonra kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi MA(q) sürecinin karakteristik özelliğidir.

Mevsimsel model bileşenlerinin derecelerinin belirlenmesi.

Mevsimsel model, 1. dereceden Otoregresif yani mevsimsel AR(1)'dir (

P=1

Q=0

PACF grafiğinin mevsimsel gecikmelerde sadece ilk periyotta (

k=4

) kesilmesi ve mevsimsel ACF'nin sönümlenmesi mevsimsel AR(P) sürecini işaret eder.

Durağanlaştırma ve fark alma işlemlerinin denkleme yansıtılması.

Soruda verilen

W_t = (1-B)(1-B^4)Y_t

eşitliği doğrudan denklemin sol tarafında yer almalıdır.

Uygulanan birinci (

d=1

) ve mevsimsel (

D=1

) fark işlemleri modelin bütünleşik yapısını oluşturur.

SARIMA kapalı form denkleminin standart notasyonla oluşturulması.

AR bileşenleri sol tarafa, MA bileşenleri sağ tarafa yazılarak

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

elde edilir.

Genel SARIMA denklemi

\Phi_P(B^s)\phi_p(B)(1-B)^d(1-B^s)^D Y_t = \Theta_Q(B^s)\theta_q(B)\varepsilon_t

formülüne dayanmaktadır.

Key Concept

SARIMA Modellerinde Grafiksel Yorumlama ve Kapalı Form Denklem Gösterimi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic