Examkin

Question

Difficulty: MediumRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir kamu kurumunda yürütülen altyapı projelerinde, birinci fazın tamamlanma süresi XX (ay) ve ikinci fazın tamamlanma süresi YY (ay) olarak modellenen iki sürekli rastgele değişkendir. Proje yönetim birimi, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y)f(x,y)'nin yalnızca 0<x<120 < x < 12 ve 0<y<12−x0 < y < 12 - x koşullarını sağlayan bölgede pozitif değerler aldığını belirlemiştir. Kurum uzmanları, risk analizi yaparken hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla XX ve YY değişkenlerinin birbirinden bağımsız olduğunu varsaymak istemektedir.

Bu duruma ve uzmanların yaklaşımına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

  1. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge bir dikdörtgen oluşturmadığından, XX ve YY değişkenleri kesinlikle bağımlıdır ve uzmanların varsayımı yanlıştır.Answer
  2. B
    Eğer bu değişkenler arasındaki kovaryans değeri sıfır olarak hesaplanırsa, uzmanların bağımsızlık varsayımı her durumda geçerli olur.
  3. C
    Değişkenler aynı örnek uzay üzerinde tanımlı olduğu ve ortak bir projeyi temsil ettiği için ayrık olaylar olarak değerlendirilir ve dolayısıyla bağımsızdırlar.
  4. D
    Değişkenlerin sınır kısıtları ne olursa olsun, sürekli değişkenlerin doğası gereği E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] eşitliği her zaman sağlanacağından uzmanların varsayımı doğrudur.
  5. E
    Projenin toplam tamamlanma süresi olan X+YX+Y'nin dağılımı bulunurken, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının doğrudan çarpımı kullanılabileceği için uzmanların bağımsızlık varsayımı yerindedir.

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge bir dikdörtgen oluşturmadığından, XX ve YY değişkenleri kesinlikle bağımlıdır ve uzmanların varsayımı yanlıştır.
İki rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için gerekli koşullardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesinin (pozitif olduğu bölge), her iki değişkenin tanımlı olduğu marjinal aralıkların kartezyen çarpımı formunda olmasıdır. Geometrik olarak bu, bölgenin koordinat eksenlerine paralel bir dikdörtgen (veya sınırsız bantlar) oluşturmasını gerektirir. Soru bağlamındaki 0<y<12−x0 < y < 12 - x koşulu, YY'nin alabileceği değer aralığının doğrudan XX'in alacağı değere bağlı olduğunu gösterir. Destek kümesi üçgensel bir bölge olduğundan, f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) parçalanması mümkün değildir ve değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin tanımlı olduğu bölgeyi (destek kümesini) analiz et.
0<x<120 < x < 12 ve 0<y<12−x0 < y < 12 - x eşitsizlikleri koordinat düzleminde dik üçgen şeklinde bir bölge belirtir.
Bağımsızlık şartının ilk adımı, destek kümesinin sınırlarının birbirine bağlı olup olmadığını kontrol etmektir.
2
Destek kümesinin geometrik şeklini bağımsızlık kuralı ile karşılaştır.
Destek kümesi eksenlere paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmamaktadır.
İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için, f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) eşitliğinin her xx ve yy için sağlanması ve tanım kümesinin (destek kümesi) bir kartezyen çarpım, yani eksenlere paralel bir dikdörtgen olması matematiksel bir zorunluluktur.
3
Uzmanların varsayımını değerlendir.
YY'nin üst sınırı doğrudan XX'in aldığı değere bağlı olduğu için değişkenler bağımlıdır.
Tanım kümesindeki bu kısıt, XX ve YY değişkenleri arasında yapısal bir bağımlılık olduğunu kanıtlar, bu sebeple uzmanların bağımsızlık varsayımı yanlıştır.

Key Concept

Bağımsız rastgele değişkenlerin destek kümesinin sınır özellikleri
Rate this question

Topics

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı