Examkin

Question

Difficulty: MediumPoisson Süreci

Bir gümrük kapısına gelen tırların sayısı, saatte ortalama λ=2\lambda = 2 tır oranıyla bir Poisson süreci, {N(t),t≥0}\{N(t), t \geq 0\}, olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu stokastik süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.Answer
  2. B
    Herhangi bir 3 saatlik periyotta gümrük kapısına tam olarak 4 tır gelme olasılığı 24e−24!\frac{2^4 e^{-2}}{4!} formülü ile hesaplanır.
  3. C
    Belirli bir tırın gelişinden sonra, bir sonraki tırın gelmesine kadar geçen sürenin dağılımı λ=2\lambda = 2 parametreli Poisson dağılımıdır.
  4. D
    Sürecin (0,2](0, 2] saatleri arasındaki tır geliş sayısı ile (1,3](1, 3] saatleri arasındaki tır geliş sayısı birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir.
  5. E
    Sürecin herhangi bir tt saatlik zaman diliminde gelen tır sayısının varyansı 2t22t^2 değerine eşittir.

Answer

Ardışık iki tırın geliş zamanları arasındaki süre, beklenen değeri 30 dakika olan üstel dağılıma sahiptir.
Poisson süreçlerinin doğası gereği, iki olay arasında geçen bekleme süresi Üstel (Exponential) dağılıma sahiptir. Parametresi saatlik λ=2\lambda = 2 olan bir dağılımda, beklenen bekleme süresi 1/λ=1/21/\lambda = 1/2 saattir. Bu da 30 dakikaya eşdeğerdir ve ifade tamamen doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Sürecin temel oran parametresini ve birimini belirlemek.
Geliş oranı λ=2\lambda = 2 tır/saat olarak verilmiştir.
Olay sayısını ve zamanlar arası dağılımı hesaplayabilmek için referans oranın tespiti gereklidir.
2
Poisson sürecinin gelişler arası zaman (interarrival time) dağılımını ve beklenen değerini formüle etmek.
Gelişler arası süre T∼Exp(2)T \sim Exp(2) dağılımına sahiptir. Beklenen değer E[T]=1/λ=1/2E[T] = 1/\lambda = 1/2 saat (30 dakika) olarak bulunur.
Zaman içinde homojen olan Poisson sürecinin temel özelliklerinden biri, bekleme sürelerinin üstel dağılım göstermesidir.
3
Diğer seçeneklerde yer alan iddiaları Poisson dağılımı kuralları ile test etmek.
Artışların bağımsızlığı için aralıkların kesişmemesi gerektiği, tt aralığındaki olay sayısının oranının λt\lambda t olarak revize edilmesi gerektiği ve varyansın λt\lambda t olduğu doğrulanarak yanlış seçenekler elenir.
Poisson sürecinde yapılan yaygın konsept hatalarını filtrelemek.

Key Concept

Poisson sürecinde beklenen değer, bağımsız artışlar ve gelişler arası sürenin Üstel dağılım göstermesi
Rate this question

Topics

Poisson Süreci

More questions from this topic