Bir bilişim sisteminde belirli bir zaman aralığında tespit edilen siber saldırıların sayıs… — KPSS İstatistik

Bir bilişim sisteminde belirli bir zaman aralığında tespit edilen siber saldırıların sayısı $X$ ve sistemsel hata uyarılarının sayısı $Y$ bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla $M_X(t) = e^{4(e^t - 1)}$ ve $M_Y(t) = e^{6(e^t - 1)}$ olarak modellenmiştir.

Sistem yöneticisi, sunucudaki genel risk skorunu $R = 2X + 2Y + 5$ biçiminde doğrusal bir dönüşüm ile hesaplamaktadır.

Moment çıkaran fonksiyon özellikleri dikkate alındığında, risk skoru $R$ 'nin moment çıkaran fonksiyonu $M_R(t)$ ve varyansı aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

$M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 40$ Answer
B
$M_R(t) = e^{5t + 20(e^t - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 20$
C
$M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 25$
D
$M_R(t) = e^{5t + 10(e^t - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 40$
E
$M_R(t) = e^{5t + 20(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 45$

Answer

Doğru yanıt,

M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}

\text{Var}(R) = 40

ifadelerini içeren seçenektir.

Soruda verilen bağımsız değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımı

X+Y \sim \text{Poisson}(10)

dağılımını işaret eder.

R = 2(X+Y) + 5

dönüşümü uygulandığında, doğrusal dönüşüm MGF kuralı (

M_{aZ+b}(t) = e^{bt}M_Z(at)

) gereği

M_R(t) = e^{5t}M_{X+Y}(2t) = e^{5t}e^{10(e^{2t}-1)}

sonucuna ulaşılır. Varyans hesabı ise varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

\text{Var}(aZ+b) = a^2 \text{Var}(Z)

formülü kullanılarak

\text{Var}(R) = 2^2(10) = 40

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Bağımsız

X

Y

değişkenlerinin toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplama

Z = X + Y

için

M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t) = e^{4(e^t - 1)} \cdot e^{6(e^t - 1)} = e^{10(e^t - 1)}

elde edilir (

\lambda = 10

olan Poisson dağılımı).

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının moment çıkaran fonksiyonu, bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımına eşittir.

R = 2(X+Y) + 5

doğrusal dönüşümü için MGF kuralını uygulama

Z = X + Y

olmak üzere,

M_R(t) = e^{5t}M_Z(2t) = e^{5t}e^{10(e^{2t} - 1)}

olarak bulunur.

R = aZ + b

şeklindeki bir doğrusal dönüşümün moment çıkaran fonksiyonu

M_R(t) = e^{bt}M_Z(at)

genel formülü ile hesaplanır.

R

değişkeninin varyansını hesaplama

MGF'den

Z \sim \text{Poisson}(10)

olduğu görülür ve

\text{Var}(Z) = 10

'dur.

\text{Var}(R) = \text{Var}(2Z + 5) = 2^2 \text{Var}(Z) = 4 \times 10 = 40

bulunur.

Doğrusal dönüşümlerde varyans kuralı

\text{Var}(aZ + b) = a^2 \text{Var}(Z)

şeklindedir; doğrusal eklenen sabit terim (b) varyansı etkilemez.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonlar ile Doğrusal Dönüşümler ve Dağılım Parametrelerinin Elde Edilmesi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics