Examkin

Question

Difficulty: EasyMoment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi

Bir XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MX(t)M_X(t) ile gösterilmektedir.

Y=3X−5Y = 3X - 5

olarak tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu (MY(t)M_Y(t)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e−5tMX(3t)e^{-5t} M_X(3t)Answer
  2. B
    e5tMX(3t)e^{5t} M_X(3t)
  3. C
    e3tMX(−5t)e^{3t} M_X(-5t)
  4. D
    MX(3t)−5M_X(3t) - 5
  5. E
    3MX(t)−53 M_X(t) - 5

Answer

Dönüşüm kuralı uygulandığında elde edilen e−5tMX(3t)e^{-5t} M_X(3t) ifadesidir.
Moment çıkaran fonksiyonların temel özelliklerinden biri, bir XX rastgele değişkeni için MaX+b(t)=ebtMX(at)M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at) eşitliğidir. Soruda verilen Y=3X−5Y = 3X - 5 dönüşümünde doğrusal katsayı a=3a=3 ve sabit terim b=−5b=-5 olarak belirlenir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında MY(t)=e−5tMX(3t)M_Y(t) = e^{-5t} M_X(3t) sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal dönüşüm kuralını hatırla.
MaX+b(t)=ebtMX(at)M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)
Moment çıkaran fonksiyonlar için doğrusal dönüşüm özelliği budur.
2
Verilen Y=3X−5Y = 3X - 5 ifadesindeki katsayıları belirle.
a=3a = 3 ve b=−5b = -5
Y=aX+bY = aX + b genel formundaki parametreler tanımlanmalıdır.
3
Katsayıları formülde yerine koyarak sonucu bul.
MY(t)=e−5tMX(3t)M_Y(t) = e^{-5t} M_X(3t)
aa yerine 33 ve bb yerine −5-5 yazılarak matematiksel sadeleştirme yapılır.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Hints

1
Moment çıkaran fonksiyonun MY(t)=E[etY]M_Y(t) = E[e^{tY}] olan tanımını kullanarak başlayın.
2
YY yerine 3X−53X - 5 yazarak üstel fonksiyonun özelliklerini (eA+B=eA⋅eBe^{A+B} = e^A \cdot e^B) kullanmayı deneyin.
3
Genel kural olan MaX+b(t)=ebtMX(at)M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at) formülünde a=3a=3 ve b=−5b=-5 değerlerini yerleştirin.

Practice More

İki bağımsız Poisson rastgele değişkeninin toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplayarak dağılımların toplanabilirliği özelliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Tanım üzerinden gitmek gerekirse: MY(t)=E[et(3X−5)]=E[e3tX⋅e−5t]M_Y(t) = E[e^{t(3X-5)}] = E[e^{3tX} \cdot e^{-5t}]. Sabit olan e−5te^{-5t} terimi beklenen değerin dışına alınırsa; e−5tE[e(3t)X]e^{-5t} E[e^{(3t)X}] elde edilir. E[e(3t)X]E[e^{(3t)X}] ifadesi ise tanım gereği MX(3t)M_X(3t) olduğundan sonuç e−5tMX(3t)e^{-5t} M_X(3t) olur.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi