X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi … — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} x + \frac{3}{2}y^2, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = \frac{1}{2}$ olduğu bilindiğinde $X$ 'in $\frac{1}{2}$ 'den büyük olma olasılığı kaçtır?

Doğru olasılık değeri

\frac{9}{14}

'tür.

Koşullu olasılık dağılımı

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

formülüyle hesaplanır. Soru bizden

Y=1/2

için

X

'in koşullu olasılığını istemektedir.

f_Y(1/2)

değeri

7/8

olarak bulunur. Yerine konulduğunda

X

'in koşullu yoğunluk fonksiyonu

(8x+3)/7

çıkar.

X > 1/2

koşulu için bu fonksiyonun

1/2

'den

1

'e kadar integrali alındığında sonuç

\frac{9}{14}

olur.

Y

rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

'yi bulmak için, ortak yoğunluk fonksiyonunun

x

'e göre integralini alın.

f_Y(y) = \int_0^1 \left(x + \frac{3}{2}y^2\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}y^2 x \right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}y^2

Koşullu yoğunluk fonksiyonunu tanımlamak için paydada

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

Bulunan marjinal yoğunluk fonksiyonunda

Y = 1/2

değerini yerine yazarak payda için gerekli sabiti hesaplayın.

f_Y(1/2) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu belirli bir

Y

değeri (

Y=1/2

) için oluşturulacaktır.

Y = 1/2

verildiğinde

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_{X|Y=1/2}(x)

oluşturun.

f_{X|Y=1/2}(x) = \frac{f(x, 1/2)}{f_Y(1/2)} = \frac{x + \frac{3}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{8}{7}\left(x + \frac{3}{8}\right) = \frac{8x + 3}{7}

İstenilen olasılığı hesaplayabilmek için

X

'in bu özel duruma ait güncellenmiş dağılımına sahip olmalıyız.

X

'in

1/2

'den büyük olma olasılığını bulmak için koşullu yoğunluk fonksiyonunun

1/2

ile

1

sınırları arasında integralini alın.

P(X > 1/2 | Y = 1/2) = \int_{1/2}^1 \frac{8x + 3}{7} dx = \frac{1}{7} \left[ 4x^2 + 3x \right]_{1/2}^1 = \frac{1}{7} \left( (4+3) - \left(1+\frac{3}{2}\right) \right) = \frac{1}{7} \left( 7 - 2.5 \right) = \frac{4.5}{7} = \frac{9}{14}

Sürekli rastgele değişkenlerde bir aralıktaki olasılık, olasılık yoğunluk fonksiyonunun o aralıktaki belirli integrali ile bulunur.

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Koşullu Yoğunluk Fonksiyonu ve Olasılık Hesabı

Question