Examkin

Question

Difficulty: HardTek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB), ülke genelindeki devlet okullarında yeni dağıtılan dijital akıllı tahta yazılımının teknik bir sorun yaşanmadan tam entegre edilme oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen 21002100 okulda yapılan incelemelerde, 630630 okulun yazılımı hiçbir teknik aksaklık yaşamadan tam olarak entegre ettiği tespit edilmiştir.

Buna göre, akıllı tahta yazılımını sorunsuz bir şekilde entegre eden okulların gerçek kitle oranı için %95\%95'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda standart normal dağılım kritik değerlerini Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645, Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96 ve Z0.005=2.575Z_{0.005} = 2.575 olarak alınız.)

  1. A
    [0.2836, 0.3165][0.2836, \ 0.3165]
  2. [0.2804, 0.3196][0.2804, \ 0.3196]Answer
  3. C
    [0.2766, 0.3234][0.2766, \ 0.3234]
  4. D
    [0.2743, 0.3258][0.2743, \ 0.3258]
  5. E
    [0.2998, 0.3002][0.2998, \ 0.3002]

Answer

[0.2804, 0.3196][0.2804, \ 0.3196] aralığıdır.
Tek kitle oranı için büyük örneklemlerde güven aralığı p^±Zα/2p^(1−p^)n\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} formülü ile hesaplanır. Verilen örneklemde p^=6302100=0.30\hat{p} = \frac{630}{2100} = 0.30 olarak bulunur. Formüldeki kareköklü ifade (standart hata), 0.30×0.702100=0.01\sqrt{\frac{0.30 \times 0.70}{2100}} = 0.01 değerini verir. %95\%95 güven düzeyi istendiği için çift yönlü test mantığıyla Zα/2=Z0.025=1.96Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 kritik değeri seçilir. 0.30±(1.96×0.01)=0.30±0.01960.30 \pm (1.96 \times 0.01) = 0.30 \pm 0.0196 işlemi yapılarak aralığın [0.2804, 0.3196][0.2804, \ 0.3196] olduğu kesinleştirilir.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem oranını (p^\hat{p}) hesapla.
p^=xn=6302100=0.30\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{630}{2100} = 0.30
Kitle oranını tahmin edebilmek için öncelikle elimizdeki örnekleme ait başarı oranını nokta tahmin edici olarak bulmalıyız.
2
Oran için standart hatayı (SESE) hesapla.
SE=p^(1−p^)n=0.30×0.702100=0.212100=0.0001=0.01SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.30 \times 0.70}{2100}} = \sqrt{\frac{0.21}{2100}} = \sqrt{0.0001} = 0.01
Büyük örneklem hacminde (np > 5 ve n(1-p) > 5 şartları sağlandığında) oran dağılımının standart sapmasını bulmak için bu formül kullanılır.
3
%95\%95 güven düzeyi için uygun kritik ZZ değerini belirle.
1−α=0.95  ⟹  α=0.051 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05. Çift yönlü aralık için Zα/2=Z0.025=1.96Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 kullanılır.
Güven aralığı simetrik olarak her iki yönde de hata payı bırakılarak oluşturulduğu için α\alpha değeri ikiye bölünmelidir.
4
Hata payını (ME) hesapla ve aralığı oluştur.
Hata Payı =1.96×0.01=0.0196= 1.96 \times 0.01 = 0.0196. Aralık =0.30±0.0196  ⟹  [0.2804, 0.3196]= 0.30 \pm 0.0196 \implies [0.2804, \ 0.3196]
Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır elde edilir.

Key Concept

Tek Kitle Oranı İçin Asimptotik Güven Aralığı
Rate this question

Topics

Tek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

More questions from this topic