Examkin

Question

Difficulty: MediumLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0,θ>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0
olan üstel dağılımdan alınmış nn hacimli bir rastgele örneklem olsun.

Buna göre, θ2\theta^2 parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Xˉ2\bar{X}^2
  2. B
    12n∑i=1nXi2\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2
  3. nn+1Xˉ2\frac{n}{n+1} \bar{X}^2Answer
  4. D
    1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  5. E
    Xˉ2n\frac{\bar{X}^2}{n}

Answer

Doğru cevap nn+1Xˉ2\frac{n}{n+1} \bar{X}^2 ifadesidir.
UMVUE bulmak için Lehmann-Scheffe teoremi gereği tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonunu bulmalıyız. Üstel dağılımda T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği θ\theta için tam ve yeterlidir. TT'nin dağılımı Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) olduğu için E[T2]=n(n+1)θ2E[T^2] = n(n+1)\theta^2'dir. Denklemi düzenlediğimizde E[T2n(n+1)]=θ2E\left[\frac{T^2}{n(n+1)}\right] = \theta^2 sonucuna ulaşırız. TT yerine nXˉn\bar{X} koyarsak, nn+1Xˉ2\frac{n}{n+1}\bar{X}^2 tahmin edicisinin θ2\theta^2 için tam ve yeterli istatistiğe bağlı yansız bir tahmin edici, dolayısıyla UMVUE olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Üstel dağılım için yeterli ve tam istatistiği belirlemek.
Olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin θ\theta için tam ve yeterli olduğu bulunur.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayarak UMVUE bulabilmek için tam ve yeterli bir istatistiğe ihtiyacımız vardır.
2
Tam ve yeterli istatistiğin dağılım özelliklerini ve ikinci momentini hesaplamak.
Xi∼Exp(θ)X_i \sim \text{Exp}(\theta) olduğundan T∼Gamma(n,θ)T \sim \text{Gamma}(n, \theta) dağılımına sahiptir. Dolayısıyla E[T]=nθE[T] = n\theta ve Var(T)=nθ2Var(T) = n\theta^2 olur. Buradan E[T2]=Var(T)+(E[T])2=nθ2+n2θ2=n(n+1)θ2E[T^2] = Var(T) + (E[T])^2 = n\theta^2 + n^2\theta^2 = n(n+1)\theta^2 elde edilir.
θ2\theta^2 parametresi için yansız bir tahmin edici oluşturmak istiyoruz, bu yüzden yeterli istatistiğin karesel beklenen değerine bakarız.
3
Yansızlığı sağlayacak katsayıyı belirleyerek UMVUE'yi elde etmek.
E[T2]=n(n+1)θ2E[T^2] = n(n+1)\theta^2 denkleminin her iki tarafını n(n+1)n(n+1)'e böldüğümüzde E[T2n(n+1)]=θ2E\left[\frac{T^2}{n(n+1)}\right] = \theta^2 buluruz. T=nXˉT = n\bar{X} yerine yazıldığında tahmin edici (nXˉ)2n(n+1)=nn+1Xˉ2\frac{(n\bar{X})^2}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}\bar{X}^2 olarak bulunur.
Bulunan bu ifade, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonudur ve yansızdır. Lehmann-Scheffe teoremine göre bu tahmin edici benzersiz UMVUE'dir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE Bulma

Alternative Method

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak, yansız olduğu bilinen S2S^2 veya X12/2X_1^2 / 2 tahmin edicilerinin tam ve yeterli istatistik T=∑XiT = \sum X_i verildiğindeki koşullu beklenen değeri E[S2∣T]E[S^2 | T] hesaplanarak da doğrudan aynı UMVUE sonucuna ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

More questions from this topic