Examkin

Question

Difficulty: EasyLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir araştırma kapsamında, belirli bir bölgedeki nadir görülen bitki türlerinin sayısı üzerine çalışılmaktadır. Bu sayı, ortalaması λ\lambda olan Poisson dağılımına sahip bir kitle olarak modellenmiştir. Bu kitleden çekilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi için λ\lambda parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_iAnswer
  2. B
    T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X1X_1
  4. D
    n+1nXˉ\frac{n+1}{n} \bar{X}
  5. E
    S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Answer

Poisson dağılımına sahip bir örneklem için λ\lambda parametresinin UMVUE tahmin edicisi örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, eğer bir istatistik tam ve yeterliyse, bu istatistiğin yansız her fonksiyonu düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). Poisson dağılımı için ∑Xi\sum X_i tam ve yeterlidir. Örneklem ortalaması Xˉ\bar{X}, bu istatistiğin bir fonksiyonudur ve λ\lambda için yansızdır. Bu nedenle Xˉ\bar{X} UMVUE'dir.

Step-by-Step Solution

1
Yeterli istatistiğin belirlenmesi
T=∑XiT = \sum X_i istatistiği yeterlidir.
Neyman-Fisher çarpanlara ayırma teoremine göre Poisson dağılımı için gözlemlerin toplamı yeterli bir istatistiktir.
2
Tamlığın kontrol edilmesi
T=∑XiT = \sum X_i istatistiği tamdır (complete).
Poisson dağılımı üstel aileye aittir ve üstel ailelerde yeterli istatistik aynı zamanda tamdır.
3
Yansızlık kontrolü
E[Xˉ]=λE[\bar{X}] = \lambda
Xˉ\bar{X} istatistiğinin beklenen değeri kitle ortalamasına eşittir, dolayısıyla yansızdır.
4
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması
Xˉ\bar{X} UMVUE'dir.
Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu olan tahmin edici, teorem gereği benzersiz en iyi yansız tahmin edicidir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Poisson Dağılımı Parametre Tahmini
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

More questions from this topic