Korelasyon matrisi kullanılarak 4 değişken (X_1, X_2, X_3, X_4) üzerinden gerçekleştirilen… — KPSS İstatistik

Korelasyon matrisi kullanılarak 4 değişken ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) üzerinden gerçekleştirilen bir Temel Bileşenler Analizinde (TBA), ilk iki temel bileşene ( $Y_1$ ve $Y_2$ ) ait özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 2,25$ ve $\lambda_2 = 1,00$ olarak elde edilmiştir.

Analiz sonucunda, $X_1$ değişkeninin birinci temel bileşen ile olan korelasyonu (birinci temel bileşen yükü) $0,60$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca, $X_1$ değişkeninin ilk iki temel bileşen tarafından açıklanan ortak varyans (communality) değeri $0,85$ 'tir.

Buna göre, $X_1$ değişkeninin birinci temel bileşeni oluşturan doğrusal kombinasyondaki özvektör katsayısı ( $e_{11}$ ) ile ikinci temel bileşen yükünün ( $l_{12}$ ) mutlak değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A
$0,60$ ve $0,70$
B
$0,40$ ve $0,25$
$0,40$ ve $0,70$ Answer
D
$0,90$ ve $0,49$
E
$0,60$ ve $0,25$

Answer

Birinci özvektör katsayısı

0,40

ve ikinci bileşen yükünün mutlak değeri

0,70

olmalıdır.

Temel Bileşenler Analizinde bir değişkenin temel bileşen üzerindeki yükü (

l_{ij}

), ilgili özvektör katsayısı (

e_{ij}

) ile özdeğerin karekökünün (

\sqrt{\lambda_j}

) çarpımına eşittir. Verilen

\lambda_1 = 2,25

l_{11} = 0,60

değerleriyle

e_{11} = 0,60 / \sqrt{2,25} = 0,60 / 1,5 = 0,40

bulunur. Ortak varyans (communality) ise temel bileşen yüklerinin kareleri toplamıdır. Formüle göre

h_1^2 = l_{11}^2 + l_{12}^2 \implies 0,85 = (0,60)^2 + l_{12}^2 \implies l_{12}^2 = 0,85 - 0,36 = 0,49

olur. Buradan ikinci bileşen yükünün mutlak değeri

\sqrt{0,49} = 0,70

olarak hesaplanır. Dolayısıyla her iki değer de sorunun kurgusuna eksiksiz uymaktadır.

Step-by-Step Solution

Özdeğerin karekökünü alma

\sqrt{\lambda_1} = \sqrt{2,25} = 1,5

Özvektör katsayısı ile yük arasındaki matematiksel dönüşüm için temel bileşen varyansının standart sapma değerine (özdeğerin kareköküne) ihtiyaç vardır.

Birinci özvektör katsayısını hesaplama

e_{11} = l_{11} / \sqrt{\lambda_1} = 0,60 / 1,5 = 0,40

Temel bileşen yükü, orijinal değişkenin bileşendeki ağırlığını gösteren özvektör katsayısı ile özdeğerin karekökünün çarpımına eşittir (

l_{ij} = e_{ij}\sqrt{\lambda_j}

Birinci temel bileşen yükünün karesini alma

l_{11}^2 = (0,60)^2 = 0,36

Bir değişkenin ortak varyansı hesaplanırken, temel bileşen yüklerinin doğrusal toplamı değil, karelerinin toplamı kullanılır.

İkinci temel bileşen yükünü hesaplama

l_{12}^2 = h_1^2 - l_{11}^2 = 0,85 - 0,36 = 0,49 \implies |l_{12}| = \sqrt{0,49} = 0,70

İlk iki bileşenin açıkladığı toplam varyanstan birinci bileşenin payı çıkarılarak ikinci bileşenin yükünün karesi ve ardından kendisi bulunur.

Key Concept

Temel Bileşen Yükü ile Özvektör Katsayısı İlişkisi ve Ortak Varyans (Communality) Hesabı

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic