Examkin

Question

Difficulty: MediumMoment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi

Bir veri merkezindeki sunucuların kesintisiz çalışma süreleri (saat cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan güvenilirlik analizlerinde, XX değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu t<12t < \frac{1}{2} için MX(t)=(1−2t)−3M_X(t) = (1 - 2t)^{-3} olarak elde edilmiştir.

Sistemin performans değerlendirme skoru, Y=3X−2Y = 3X - 2 doğrusal dönüşümü ile tanımlanan YY rastgele değişkeni üzerinden hesaplanmaktadır.

Buna göre, YY performans skorunun moment çıkaran fonksiyonu MY(t)M_Y(t) ve varyansı Var(Y)Var(Y) aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. MY(t)=e−2t(1−6t)−3veVar(Y)=108M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 108Answer
  2. B
    MY(t)=(1−6t)−3veVar(Y)=108M_Y(t) = (1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 108
  3. C
    MY(t)=e−2t(1−6t)−3veVar(Y)=36M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 36
  4. D
    MY(t)=e−2t(1−6t)−3veVar(Y)=106M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 106
  5. E
    MY(t)=e−2t(1−23t)−3veVar(Y)=36M_Y(t) = e^{-2t}(1 - \frac{2}{3}t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 36

Answer

YY rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MY(t)=e−2t(1−6t)−3M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} ve varyansı Var(Y)=108Var(Y) = 108'dir.
Doğrusal bir dönüşüm olan Y=aX+bY = aX + b için moment çıkaran fonksiyon MY(t)=ebtMX(at)M_Y(t) = e^{bt}M_X(at) kuralı ile hesaplanır. a=3a=3 ve b=−2b=-2 verildiğinden, MY(t)=e−2tMX(3t)M_Y(t) = e^{-2t}M_X(3t) olur. MX(3t)M_X(3t) ifadesi, orijinal (1−2t)−3(1-2t)^{-3} fonksiyonunda tt yerine 3t3t yazılarak (1−6t)−3(1-6t)^{-3} şeklinde bulunur. Böylece MY(t)=e−2t(1−6t)−3M_Y(t) = e^{-2t}(1-6t)^{-3} elde edilir. XX'in varyansını bulmak için MGF'nin t=0t=0'daki türevleri alınır: MX′(0)=E(X)=6M'_X(0) = E(X) = 6 ve MX′′(0)=E(X2)=48M''_X(0) = E(X^2) = 48'dir. Buradan Var(X)=48−62=12Var(X) = 48 - 6^2 = 12 çıkar. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre Var(aX+b)=a2Var(X)Var(aX+b) = a^2Var(X) olduğundan, Var(Y)=32×12=108Var(Y) = 3^2 \times 12 = 108 sonucuna ulaşılır. Doğru seçenek her iki değeri de eksiksiz sunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal dönüşümler için moment çıkaran fonksiyon kuralını yaz.
MY(t)=MaX+b(t)=ebtMX(at)M_Y(t) = M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at) kuralı hatırlanır.
Y=3X−2Y = 3X - 2 dönüşümünün MGF'sini bulmak için temel teorem gereklidir.
2
Kuralı Y=3X−2Y = 3X - 2 için uygula.
a=3a=3 ve b=−2b=-2 değerleri yerine konur: MY(t)=e−2tMX(3t)=e−2t(1−2(3t))−3=e−2t(1−6t)−3M_Y(t) = e^{-2t}M_X(3t) = e^{-2t}(1 - 2(3t))^{-3} = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3}.
Yeni değişkenin dağılımını ifade eden fonksiyonu türetmek.
3
XX'in varyansını bulmak için verilen MX(t)M_X(t) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerini t=0t=0 noktasında değerlendir.
MX′(t)=6(1−2t)−4  ⟹  E(X)=MX′(0)=6M'_X(t) = 6(1-2t)^{-4} \implies E(X) = M'_X(0) = 6. MX′′(t)=48(1−2t)−5  ⟹  E(X2)=MX′′(0)=48M''_X(t) = 48(1-2t)^{-5} \implies E(X^2) = M''_X(0) = 48. Buradan Var(X)=E(X2)−(E(X))2=48−36=12Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 48 - 36 = 12.
YY'nin varyansına geçiş yapabilmek için öncelikle XX'in varyansını hesaplamak şarttır.
4
Varyans özelliklerini kullanarak YY'nin varyansını hesapla.
Var(aX+b)=a2Var(X)Var(aX+b) = a^2Var(X) kuralı gereği, Var(3X−2)=32Var(X)=9×12=108Var(3X - 2) = 3^2 Var(X) = 9 \times 12 = 108.
Varyansın doğrusal dönüşümlerde sabitlerden etkilenmediğini ve katsayının karesiyle çarpıldığını uygulamak.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) ile Değişken Dönüşümü
Rate this question

Topics

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi