Bir ağ sunucusuna gelen ardışık iki veri paketinin sisteme varış ve işlenme dinamiklerini … — KPSS İstatistik

Bir ağ sunucusuna gelen ardışık iki veri paketinin sisteme varış ve işlenme dinamiklerini inceleyen bir mühendis, belirli bir protokole göre ölçülen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu aşağıdaki gibi modellemiştir:

f(x,y) = \begin{cases} e^{-x}, & 0 < y < x < \infty \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Sistemin darboğaz (bottleneck) analizini yapabilmek için mühendis, bu değişkenleri $U = 2X - 2Y$ ve $V = 2Y$ eşitlikleriyle yeni rastgele değişkenlere dönüştürmektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A
$h(u,v) = \begin{cases} e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
B
$h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}, & 0 < v < u < \infty \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
$h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$ Answer
D
$h(u,v) = \begin{cases} 4 e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
E
$h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-\frac{u}{2}}, & u > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Answer

Doğru ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

1/4

Jakobiyen çarpanını içeren ve sınırları

u > 0, v > 0

olan fonksiyondur.

Doğru seçenek,

X

Y

'nin dönüştürülmüş halleri olan

x = (u+v)/2

y = v/2

eşitliklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazılması, elde edilen ifadenin

1/4

olarak hesaplanan Jakobiyen determinantının mutlak değeriyle çarpılması ve sınır eşitsizliklerinin

u>0, v>0

olarak doğru çözümlenmesiyle elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

Verilen dönüşüm denklemlerini kullanarak

x

y

değişkenlerini

u

v

cinsinden ifade edin.

V = 2Y \implies Y = \frac{V}{2}

U = 2X - V \implies 2X = U + V \implies X = \frac{U+V}{2}

elde edilir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyma işlemi yapabilmek için ters dönüşüme ihtiyaç vardır.

Jakobiyen matrisini oluşturun ve determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{1}{4}

. Mutlak değeri

|J| = \frac{1}{4}

bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde alan/hacim değişim oranını dengelemek için Jakobiyen determinantı mutlak değerine ihtiyaç vardır.

Orijinal eşitsizlikleri kullanarak

u

v

değişkenlerinin yeni tanım aralığını (sınırlarını) bulun.

Orijinal sınırlar

0 < y < x < \infty

şeklindedir. Yerine yazılırsa:

0 < \frac{v}{2} < \frac{u+v}{2} < \infty

. Buradan

\frac{v}{2} > 0 \implies v > 0

\frac{u+v}{2} > \frac{v}{2} \implies u+v > v \implies u > 0

eşitsizlikleri bulunur. Yeni bölge:

u > 0

v > 0

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu destek kümesi dönüşümle birlikte değişir.

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

formülünü uygulayarak ortak yoğunluk fonksiyonunu yazın.

h(u,v) = e^{-\left(\frac{u+v}{2}\right)} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}

Dönüşüm teoreminin genel kuralıdır.

Key Concept

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Jakobiyen Dönüşümü

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics