X ve Y bağımsız sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x, y… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. $U = 4X$ ve $V = 2Y$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$ Answer
B
$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$
C
$h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
D
$h(u, v) = 8, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$
E
$h(u, v) = \frac{1}{4}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2$

Answer

h(u, v) = \frac{1}{8}

değeri ile birlikte

0 < u < 4

0 < v < 2

sınırlarını belirten seçenek doğrudur.

Verilen doğrusal dönüşümde ters fonksiyonlar

x=u/4

y=v/2

şeklindedir. Kısmi türevlerden oluşan Jakobiyen determinantı

1/4 \times 1/2 = 1/8

olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri

1

olduğu için yeni PDF

1 \times 1/8 = 1/8

olur. Sınırlar ise

x

y

'nin

0-1

aralığından sırasıyla

0-4

0-2

aralığına genişler.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini belirle.

x = \frac{u}{4}

y = \frac{v}{2}

Orijinal PDF'teki değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek gerekir.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesapla.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{8}

Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için bu çarpan gereklidir.

Yeni sınırları (destek bölgesini) hesapla.

0 < \frac{u}{4} < 1 \Rightarrow 0 < u < 4

0 < \frac{v}{2} < 1 \Rightarrow 0 < v < 2

Dönüşüm sonrasında değişkenlerin hangi aralıkta tanımlı olduğu belirlenmelidir.

Dönüşüm formülünü uygulayarak ortak PDF'i yaz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

h(u, v) = f(g_1^{-1}(u,v), g_2^{-1}(u,v)) \cdot |J|

kuralı uygulanır.

Key Concept

İki değişkenli bir dönüşümde yeni ortak yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

Practice More

Değişkenlerin toplamı gibi daha karmaşık bir dönüşüm (

U=X+Y

) için sınırların nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics