Examkin

Question

Difficulty: MediumEn Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

Türkiye İstatistik Kurumu verilerini inceleyen bir istatistikçi, illerin yıllık ihracat hacmi (XX, milyon dolar) ile ekonomik büyüme oranları (YY, yüzde) arasındaki doğrusal ilişkiyi modellemek istemektedir. Kurulan sabit terimli basit doğrusal regresyon modelinde, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi uygulanmış, 1212 ilden oluşan bir kesit verisi kullanılarak aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

- Xˉ=10\bar{X} = 10
- Yˉ=40\bar{Y} = 40
- ∑(Xi−Xˉ)2=40\sum (X_i - \bar{X})^2 = 40
- ∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=120\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 120
- Hata Kareler Toplamı (HKTHKT) =100= 100

Elde edilen bu tahmin sonuçları ve EKK yönteminin istatistiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Modelin hata varyansının yansız tahmini, Hata Kareler Toplamının doğrudan örneklem hacmine bölünmesiyle elde edilir ve değeri 8,338,33'tür.
  2. B
    EKK tahmin edicileri sapmasız özellik gösterdiğinden, klasik varsayımların geçerliliğine bakılmaksızın tüm tahmin edici sınıfları içinde otomatik olarak en küçük varyansa sahiptir.
  3. Regresyon doğrusunun eğim katsayısı 33'tür ve Gauss-Markov varsayımları altında bu tahmin ediciler, doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahiptir.Answer
  4. D
    EKK parametrelerinin matris notasyonu ile (β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y) çözümlenebilmesi için, modele ait XX tasarım matrisinin boyutu 12×112 \times 1 vektörü şeklinde tanımlanmalıdır.
  5. E
    Modelin sabit terimi kaldırılarak orijinden geçen regresyon uygulanırsa, elde edilecek yeni belirtme katsayısı (R2R^2) ile mevcut modelin belirtme katsayısı doğrudan karşılaştırılabilir.

Answer

Regresyon doğrusunun eğim katsayısı 3'tür ve Gauss-Markov varsayımları altında bu tahmin ediciler, doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahiptir.
Verilen istatistiklere göre regresyon doğrusunun eğim katsayısı β^1=120/40=3\hat{\beta}_1 = 120 / 40 = 3 olarak hesaplanır. Gauss-Markov teoremine göre, klasik varsayımlar altında En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Ediciler' (BLUE) özelliğini taşır. Buradaki 'en iyi' terimi, doğrusal ve sapmasız tüm tahmin ediciler arasında en küçük varyansa (etkinliğe) sahip olduklarını matematiksel olarak ifade eder.

Step-by-Step Solution

1
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) hesapla.
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=12040=3\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{120}{40} = 3 bulunur.
Regresyon doğrusunun eğimi, değişkenler arası ortak değişimin (kovaryansın payı), bağımsız değişkenin varyansına (paydasına) oranlanmasıyla elde edilir.
2
EKK tahmincilerinin teorik özelliklerini (Gauss-Markov Teoremi) değerlendir.
Varsayımlar sağlandığında EKK tahmincileri BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) özelliğine sahiptir.
Teoriye göre, doğrusal ve sapmasız tahminciler sınıfı içinde en düşük varyansa sahip olanlar EKK tahmincileridir.
3
Seçeneklerdeki diğer teorik ve işlemsel ifadelerin doğruluğunu kontrol et.
Hata varyansı formülünde serbestlik derecesi (n−2n-2) kullanılmalı, XX matrisi n×2n \times 2 boyutunda olmalı, orijinden geçen regresyonla R2R^2 doğrudan kıyaslanamaz.
EKK analizinde matris boyutları, varyans serbestlik dereceleri ve model spesifikasyonları istatistiksel geçerlilik için kritik öneme sahiptir.

Key Concept

Gauss-Markov Teoremi ve EKK Parametre Tahmini
Rate this question

Topics

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

More questions from this topic