Bir endüstriyel kalite kontrol sürecinde, üretilen yeni nesil bataryaların performansını d… — KPSS İstatistik

Bir endüstriyel kalite kontrol sürecinde, üretilen yeni nesil bataryaların performansını değerlendirmek amacıyla ardışık test prosedürleri uygulanmaktadır. Birinci test aşamasından elde edilen hata sapma istatistikleri dizisi $\{U_n\}$ , ikinci test aşamasından hesaplanan kalibrasyon faktörü dizisi ise $\{V_n\}$ ile gösterilmektedir.

Yapılan istatistiksel analizler neticesinde; $\{U_n\}$ dizisinin standart normal dağılıma sahip bir $Z$ rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığı ( $U_n \xrightarrow{d} Z$ ) ve $\{V_n\}$ dizisinin ise $c$ ( $c > 0$ ) gibi sabit bir gerçel sayıya olasılıkta yakınsadığı ( $V_n \xrightarrow{p} c$ ) tespit edilmiştir.

Bu bilgilere ve asimptotik limit teoremlerine göre, $W_n = \frac{U_n}{V_n}$ olarak tanımlanan ağırlıklandırılmış test istatistiği dizisinin limit davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Slutsky Teoremi gereğince $\{W_n\}$ dizisi $\frac{Z}{c}$ rastgele değişkenine dağılımda yakınsar ve bu dizinin birikimli dağılım fonksiyonu, limit dağılım fonksiyonunun her süreklilik noktasında asimptotik olarak yakınsama özelliğini sağlar.Answer
B
Dağılımda yakınsama hiyerarşik olarak olasılıkta yakınsamayı zorunlu kıldığından, $\{U_n\}$ dizisi olasılıkta da yakınsar ve $\{W_n\}$ 'nin $\frac{Z}{c}$ 'ye olan yakınsaması olasılıkta yakınsamaya dönüşür.
C
Sabit bir sayıya olasılıkta yakınsama, hemen hemen kesin (almost sure) yakınsamayı da doğrudan içerdiğinden, $\{W_n\}$ dizisi $\frac{Z}{c}$ değerine hemen hemen kesin olarak yakınsar.
D
$\{W_n\}$ dizisi dağılımda yakınsadığı için, limit dağılımının birikimli dağılım fonksiyonu yalnızca pozitif destek kümesinde $\int_0^w f(t) dt$ şeklinde hesaplanarak tüm gerçel sayılarda yakınsama garanti edilir.
E
$\{W_n\}$ dizisinin dağılımda yakınsaması, aynı zamanda $r$ -inci mertebeden ortalamada (r-th mean) yakınsamayı ifade eder; bu durum limit varyansının her zaman sonlu olmasını gerektirir.

Answer

Doğru yanıt, Slutsky Teoremi uyarınca bölme işleminin asimptotik dağılımının korunarak birikimli dağılım fonksiyonunun süreklilik noktalarında limit fonksiyona yakınsadığını belirten ifadedir.

Verilen iki dizinin özellikleri Slutsky Teoremi'nin kullanımını zorunlu kılar. Teoreme göre, eğer

U_n \xrightarrow{d} Z

V_n \xrightarrow{p} c

ise oranları olan

W_n

dizisi

Z/c

'ye dağılımda yakınsar. Dağılımda yakınsamanın formal ve tam matematiksel tanımı gereği,

\{W_n\}

'nin birikimli dağılım fonksiyonu olan

F_{W_n}(w)

, limit dağılım fonksiyonunun tüm süreklilik noktalarında

F_{Z/c}(w)

değerine yakınsamak zorundadır.

Step-by-Step Solution

Öncüllerde verilen

\{U_n\} \xrightarrow{d} Z

\{V_n\} \xrightarrow{p} c

ifadelerini Slutsky Teoremi kapsamında değerlendirmek.

W_n = \frac{U_n}{V_n} \xrightarrow{d} \frac{Z}{c}

elde edilir.

Slutsky Teoremi, bir dizinin dağılımda, diğerinin sıfırdan farklı sabit bir sayıya olasılıkta yakınsadığı durumlarda bölme işleminin asimptotik limit özelliklerini koruduğunu gösterir.

Dağılımda yakınsamanın birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) bazındaki formal matematiksel tanımını uygulamak.

F_{W_n}(w) \to F_{Z/c}(w)

yakınsaması

F_{Z/c}

fonksiyonunun her süreklilik noktasında geçerli olur.

Dağılımda yakınsamanın temel tanımı, dizinin CDF'sinin limit rastgele değişkenin CDF'sine sadece süreklilik noktalarında asimptotik olarak eşitlenmesini gerektirir.

Yakınsama türleri arasındaki hiyerarşik ilişkileri (olasılıkta, hemen hemen kesin, r-inci mertebeden) kontrol ederek çeldiricileri elemek.

Dağılımda yakınsama en zayıf yakınsama türü olduğundan, diğer yakınsama biçimlerini zorunlu kılmaz.

Yakınsama hiyerarşisinde

a.s. \implies p \implies d

kuralı geçerlidir, ancak yön geriye doğru (dağılımdan olasılığa veya kesin yakınsamaya) çalışmaz.

Key Concept

Dağılımda Yakınsama ve Slutsky Teoremi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic