Bir finansal risk modellemesi sürecinde, ardışık bağımsız yatırım getirilerini temsil eden… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk modellemesi sürecinde, ardışık bağımsız yatırım getirilerini temsil eden standart normal dağılımlı $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ rastgele değişkenleri gözlemlenmektedir. Bu süreçten türetilen bir $Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i^2$ istatistiği risk ölçeği olarak kullanılmaktadır.

Diğer yandan, dışsal bir şok faktörünü temsil eden $X_n$ rastgele değişken dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu $F_{X_n}(x)$ 'in, her $x$ süreklilik noktasında standart normal dağılımın birikimli dağılım fonksiyonu olan $\Phi(x)$ 'e yakınsadığı tespit edilmiştir.

Modele entegre edilen nihai risk skoru $W_n = \frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} + Y_n$ olarak tanımlanmıştır.

Verilen bu diziler ve asimptotik limit teoremleri dikkate alındığında, $W_n$ risk skorunun asimptotik yakınsama durumu ve limit özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$W_n$ risk skoru dağılımda $N(1, 1)$ dağılımına yakınsar. $X_n$ 'in olasılıkta yakınsadığına dair bir bilgi bulunmadığından, $W_n$ 'in olasılıkta sabit veya rastgele bir değere yakınsadığı kesin olarak söylenemez.Answer
B
Dağılımda yakınsama, hiyerarşik olarak olasılıkta yakınsamayı gerektirdiği için $W_n$ skoru $N(1, 1)$ dağılımına olasılıkta yakınsar ve $r$ -nci mertebeden ortalamada yakınsama şartları doğrudan sağlanır.
C
$Y_n$ dizisi Büyük Sayılar Yasası gereği 1'e hemen hemen kesin (almost sure) yakınsadığından, $W_n$ dizisi de asimptotik olarak $X+1$ rastgele değişkenine hemen hemen kesin yakınsar.
D
$X_n$ 'in dağılımda standart normale yakınsaması, karesel ortalamada yakınsamayı da garanti ettiği için Slutsky Teoremi gereği $W_n$ dizisi olasılıkta $N(1,1)$ dağılımına yakınsar.
E
$W_n$ skorunun asimptotik varyansı, varyans özellikleri gereği $X_n$ 'in varyansının $\sqrt{Y_n}$ 'in varyansına oranlanmasıyla bulunacağından, skor Cauchy dağılımına yakınsar.

Answer

W_n

risk skoru dağılımda

N(1, 1)

dağılımına yakınsar.

X_n

'in limiti hakkında sadece dağılımsal bilgi verildiğinden

W_n

'in olasılıkta yakınsadığı söylenemez.

Verilen I. öncül, tanımı gereği

X_n \xrightarrow{d} N(0,1)

olduğunu ifade eder. II. öncülde

Y_n

, beklenen değeri 1 olan

Z_i^2

(Ki-kare) değişkenlerinin ortalamasıdır; Büyük Sayılar Yasası ile

Y_n \xrightarrow{P} 1

olur. Sürekli Dönüşüm Teoremi kullanılarak

\sqrt{Y_n} \xrightarrow{P} 1

bulunur. Slutsky Teoremi bölme işlemi için uygulandığında

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} \xrightarrow{d} N(0,1)

ve ardından toplama işlemi için uygulandığında

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} + Y_n \xrightarrow{d} N(0,1) + 1 = N(1,1)

sonucuna ulaşılır.

X_n

'in olasılıkta yakınsadığı bilinmediğinden ve limit sabit bir değer olmadığından,

W_n

'in daha güçlü olan olasılıkta veya hemen hemen kesin yakınsama türlerine sahip olduğu kesin olarak söylenemez.

Step-by-Step Solution

X_n

dizisinin yakınsama durumunu tanımlamak

F_{X_n}(x)

'in her süreklilik noktasında

\Phi(x)

'e yakınsaması, dağılımda yakınsamanın tam tanımıdır. Bu nedenle

X_n \xrightarrow{d} N(0,1)

elde edilir.

Dağılımda yakınsama (convergence in distribution), dizinin birikimli dağılım fonksiyonunun limit dağılımın birikimli dağılım fonksiyonuna yakınsaması ile tanımlanır.

Büyük Sayılar Yasası'nı (WLLN) kullanarak

Y_n

'in limitini bulmak

Z_i \sim N(0,1)

olduğundan, varyans tanımından

E[Z_i^2] = \text{Var}(Z_i) + (E[Z_i])^2 = 1 + 0 = 1

'dir. Zayıf Büyük Sayılar Yasası gereği, örneklem ortalaması beklenen değere olasılıkta yakınsar:

Y_n = \frac{1}{n} \sum Z_i^2 \xrightarrow{P} 1

Y_n

, bağımsız ve aynı dağılımlı Ki-kare (1 serbestlik dereceli) rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasıdır.

Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem) uygulamak

g(y) = \sqrt{y}

fonksiyonu

y=1

noktasında sürekli olduğundan,

Y_n \xrightarrow{P} 1

bilgisi

\sqrt{Y_n} \xrightarrow{P} 1

sonucunu verir.

Olasılıkta yakınsayan bir dizinin sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü, limitin aynı fonksiyondaki görüntüsüne olasılıkta yakınsar.

Slutsky Teoremi'ni ardışık olarak uygulamak

X_n \xrightarrow{d} N(0,1)

\sqrt{Y_n} \xrightarrow{P} 1

olduğu için bölümleri

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} \xrightarrow{d} \frac{N(0,1)}{1} = N(0,1)

olur. Toplam durumu için;

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} \xrightarrow{d} N(0,1)

Y_n \xrightarrow{P} 1

olduğundan,

W_n = \frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} + Y_n \xrightarrow{d} N(0,1) + 1 = N(1,1)

elde edilir.

Slutsky Teoremi, dağılımda yakınsayan bir dizi ile olasılıkta sabite yakınsayan bir dizinin çarpım, bölüm ve toplamlarının limit dağılımlarını belirlememizi sağlar.

Yakınsama hiyerarşisini değerlendirmek

Limit dağılımı

N(1,1)

olan bir rastgele değişkendir (sabit değildir).

X_n

sadece dağılımda yakınsadığından,

W_n

için olasılıkta, karesel ortalamada veya hemen hemen kesin yakınsama garanti edilemez.

Dağılımda yakınsama, dizinin aldığı değerlerin değil sadece olasılık dağılımının bir limite yaklaştığını gösterir; en zayıf yakınsama türüdür.

Key Concept

Dağılımda Yakınsama, Slutsky Teoremi ve Yakınsama Hiyerarşisi

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic