Bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu M_X(t) = e^{t + 0,5t^2} olarak tanım… — KPSS İstatistik

Bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{t + 0,5t^2}$ olarak tanımlanmıştır. $Y = 2X + 3$ dönüşümü yapıldığında, moment çıkaran fonksiyonların teklik (uniqueness) özelliği yardımıyla $Y$ değişkeninin dağılımı elde edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

5 ve 4Answer
B
5 ve 2
C
2 ve 4
D
5 ve 1
E
1 ve 0,5

Answer

Beklenen değeri 5 ve varyansı 4 olan seçenek doğrudur.

Doğru seçenek,

M_Y(t) = e^{3t} M_X(2t)

kuralı uygulandığında ortaya çıkan

e^{5t + 2t^2}

fonksiyonundan hareketle beklenen değerin 5 ve varyansın 4 (çünkü

4/2=2

) olduğunu doğru tespit etmektedir.

Step-by-Step Solution

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

genel kuralını kullanarak

Y = 2X + 3

için fonksiyonu kurmak.

M_Y(t) = e^{3t} M_X(2t)

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyonun temel özelliği budur.

M_X(2t)

ifadesini verilen

M_X(t) = e^{t + 0,5t^2}

fonksiyonunda

t

yerine

2t

yazarak hesaplamak.

M_X(2t) = e^{2t + 0,5(2t)^2} = e^{2t + 2t^2}

Fonksiyonel dönüşümün çekirdek kısmını belirlemek için parametre değişimi yapılır.

Elde edilen ifadeleri çarparak

M_Y(t)

fonksiyonunu sadeleştirmek.

M_Y(t) = e^{3t} \times e^{2t + 2t^2} = e^{5t + 2t^2}

Üslü sayıların çarpımı kuralıyla katsayılar birleştirilir.

Sonucu normal dağılımın

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

genel formuyla karşılaştırıp parametreleri çekmek.

\mu = 5

\sigma^2/2 = 2 \implies \sigma^2 = 4

MGF'nin teklik özelliği, elde edilen formun hangi parametrelere sahip normal dağılıma ait olduğunu belirler.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşümü ve Teklik Özelliği

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics