Examkin

Question

Difficulty: MediumCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir fiziksel sistemdeki parçacıkların hızlarının büyüklüğünü modellemek için kullanılan Maxwell-Boltzmann dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 olmak üzere,

f(x;θ)=2πx2θ3e−x22θ2,x>0f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

şeklinde verilmektedir.
Bu dağılımdan alınan nn birimlik rastgele bir örneklem için bilinmeyen θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisinin varyansının alabileceği en küçük değer (Cramer-Rao alt sınırı) aşağıdakilerden hangisidir?
(Bilgi: Bu dağılım için E(X2)=3θ2E(X^2) = 3\theta^2 dir.)

  1. θ26n\frac{\theta^2}{6n}Answer
  2. B
    θ23n\frac{\theta^2}{3n}
  3. C
    6nθ2\frac{6n}{\theta^2}
  4. D
    θ26\frac{\theta^2}{6}
  5. E
    3θ2n\frac{3\theta^2}{n}

Answer

Bilinmeyen θ\theta parametresi için Cramer-Rao alt sınırı θ26n\frac{\theta^2}{6n} ifadesidir.
Verilen Maxwell-Boltzmann dağılımının log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevi hesaplanıp, soruda sağlanan E(X2)=3θ2E(X^2)=3\theta^2 değeri yerine konduğunda, bir gözlem için Fisher bilgisi I1(θ)=6/θ2I_1(\theta) = 6/\theta^2 olarak bulunur. nn gözlemden oluşan rastgele örneklem için Cramer-Rao alt sınırı 1/(n⋅I1(θ))1 / (n \cdot I_1(\theta)) formülüyle hesaplandığından sonuç θ2/(6n)\theta^2 / (6n) olur.

Step-by-Step Solution

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritmasını (log-olabilirlik) al.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡(2π)+2ln⁡x−3ln⁡θ−x22θ2\ln f(x; \theta) = \ln\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) + 2\ln x - 3\ln\theta - \frac{x^2}{2\theta^2}
Fisher bilgi matrisini bulabilmek için fonksiyonun logaritmasının parametreye göre türevlerine ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta parametresine göre birinci türevini (skor fonksiyonu) hesapla.
∂∂θln⁡f(x;θ)=−3θ−x22(−2θ−3)=−3θ+x2θ3\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x; \theta) = -\frac{3}{\theta} - \frac{x^2}{2} (-2\theta^{-3}) = -\frac{3}{\theta} + \frac{x^2}{\theta^3}
İkinci türeve ulaşmak için önce birinci türev alınmalıdır.
3
Birinci türevin tekrar θ\theta'ya göre türevini alarak ikinci türevi hesapla.
∂2∂θ2ln⁡f(x;θ)=3θ2−3x2θ4\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f(x; \theta) = \frac{3}{\theta^2} - \frac{3x^2}{\theta^4}
Fisher bilgisi, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin eksi işaretlisi kullanılarak daha kolay hesaplanır.
4
İkinci türevin beklenen değerini eksi ile çarparak tek bir gözlem için Fisher bilgisini (I1(θ)I_1(\theta)) bul.
I1(θ)=−E[3θ2−3X2θ4]=−3θ2+3θ4E(X2)I_1(\theta) = -E\left[ \frac{3}{\theta^2} - \frac{3X^2}{\theta^4} \right] = -\frac{3}{\theta^2} + \frac{3}{\theta^4}E(X^2). Verilen E(X2)=3θ2E(X^2)=3\theta^2 yazılırsa: −3θ2+3(3θ2)θ4=−3θ2+9θ2=6θ2-\frac{3}{\theta^2} + \frac{3(3\theta^2)}{\theta^4} = -\frac{3}{\theta^2} + \frac{9}{\theta^2} = \frac{6}{\theta^2}
Cramer-Rao alt sınırı formülünün paydasını oluşturan birim Fisher bilgisine ulaşmak.
5
nn çaplı örneklem için CRLB formülünü uygula.
CRLB(θ^)=1n⋅I1(θ)=1n⋅(6/θ2)=θ26nCRLB(\hat{\theta}) = \frac{1}{n \cdot I_1(\theta)} = \frac{1}{n \cdot (6/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{6n}
Yansız bir tahmin edicinin minimum varyans sınırını (CRLB) sonuca bağlamak.

Key Concept

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Fisher Bilgisi
Rate this question

Topics

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

More questions from this topic