Examkin

Question

Difficulty: MediumCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir fabrikada üretilen elektronik bir parçanın ömrü (saat cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)={x22θ3e−x/θ,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x^2}{2\theta^3} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bu kütleden alınmış nn birimlik rastgele bir örneklem olmak üzere, bu parçaların beklenen ömrünü (kitle ortalamasını) tahmin etmek için kullanılacak yansız bir tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 3θ2n\frac{3\theta^2}{n}Answer
  2. B
    θ23n\frac{\theta^2}{3n}
  3. C
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  4. D
    9θ2n\frac{9\theta^2}{n}
  5. E
    θ33n\frac{\theta^3}{3n}

Answer

Beklenen ömrü tahmin eden yansız tahmin edicinin varyans alt sınırı 3θ2n\frac{3\theta^2}{n}'dir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, şekil parametresi α=3\alpha=3 ve ölçek parametresi β=θ\beta=\theta olan bir Gamma dağılımıdır. Bu dağılımın beklenen değeri (kitle ortalaması) E[X]=αβ=3θE[X] = \alpha\beta = 3\theta şeklindedir. Tahmin edilecek olan parametrik fonksiyon g(θ)=3θg(\theta) = 3\theta'dır. Tek bir örnek için Fisher bilgi matrisi log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin eksi işaretlisidir ve I(θ)=3/θ2I(\theta) = 3/\theta^2 olarak hesaplanır. Cramer-Rao eşitsizliğine göre g(θ)g(\theta)'nın varyansı [g′(θ)]2/(nI(θ))[g'(\theta)]^2 / (n I(\theta)) formülünden hesaplandığı için, (3)2/[n(3/θ2)]=3θ2/n(3)^2 / [n(3/\theta^2)] = 3\theta^2/n sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitle ortalamasını (beklenen değeri) belirleyin.
X∼Gamma(3,θ)X \sim Gamma(3, \theta) olduğundan beklenen ömür g(θ)=E[X]=3θg(\theta) = E[X] = 3\theta olur.
Soruda Cramer-Rao alt sınırı θ\theta için değil, beklenen ömür için istenmektedir.
2
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını alın.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡(x2/2)−3ln⁡θ−xθ\ln f(x; \theta) = \ln(x^2/2) - 3\ln\theta - \frac{x}{\theta}
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
3
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevlerini alın.
∂ln⁡f∂θ=−3θ+xθ2\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{3}{\theta} + \frac{x}{\theta^2} ve ∂2ln⁡f∂θ2=3θ2−2xθ3\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{3}{\theta^2} - \frac{2x}{\theta^3}
İkinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisi Fisher bilgisini verir.
4
Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını (I(θ)I(\theta)) hesaplayın.
I(θ)=−E[3θ2−2Xθ3]=−(3θ2−2(3θ)θ3)=3θ2I(\theta) = -E\left[\frac{3}{\theta^2} - \frac{2X}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{3}{\theta^2} - \frac{2(3\theta)}{\theta^3}\right) = \frac{3}{\theta^2}
Cramer-Rao eşitsizliği paydasında n⋅I(θ)n \cdot I(\theta) ifadesi yer alır.
5
g(θ)g(\theta) fonksiyonu için Cramer-Rao alt sınırını hesaplayın.
Alt Sınır =[g′(θ)]2n⋅I(θ)=32n(3/θ2)=9θ23n=3θ2n= \frac{[g'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{3^2}{n(3/\theta^2)} = \frac{9\theta^2}{3n} = \frac{3\theta^2}{n}
Parametrenin bir fonksiyonunu tahmin ederken türevinin karesi, Fisher bilgisine bölünmelidir.

Key Concept

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fonksiyon Tahmini
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

More questions from this topic