Examkin

Question

Difficulty: EasyRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

İki sürekli rastgele değişkenin (XX ve YY) bağımsız olabilmesi için temel matematiksel şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesi) bir kartezyen çarpım kümesi (dikdörtgensel bölge) olmasıdır. Bir başka deyişle, bir değişkenin alabileceği değerlerin sınırları, diğer değişkenin değerine bağlı olmamalıdır.

Buna göre, aşağıda verilen tanımlı aralıklardan hangisi XX ve YY değişkenlerinin kesinlikle bağımlı olduğunu gösterir?

  1. A
    0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1
  2. B
    x>0x > 0 ve y>0y > 0
  3. 0<x<y<10 < x < y < 1Answer
  4. D
    1<x<51 < x < 5 ve 2<y<42 < y < 4
  5. E
    −∞<x<∞-\infty < x < \infty ve −∞<y<∞-\infty < y < \infty

Answer

X'in üst sınırının Y'ye bağlı olduğu 0<x<y<10 < x < y < 1 durumu, değişkenlerin kesinlikle bağımlı olduğunu gösterir.
İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin bir dikdörtgen olması zorunludur. Belirtilen seçenekler arasında sadece 0<x<y<10 < x < y < 1 ifadesi bir üçgen belirtmektedir; burada xx'in alabileceği değerler yy'nin o anki değerine bağlı olarak değiştiği için değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Bağımsızlık için bölge şartını kontrol et
Bağımsız değişkenler için f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) olmalıdır.
Eğer fonksiyon çarpanlarına ayrılabiliyorsa, bu fonksiyonun tanımlı olduğu bölge de her iki eksende bağımsız aralıkların çarpımı (a<x<ba < x < b ve c<y<dc < y < d) olmalıdır.
2
Seçeneklerdeki sınır bağımlılıklarını incele
0<x<y<10 < x < y < 1 aralığında xx değişkeni 00 ile yy arasında değer almaktadır.
Sınırlarda bir değişkenin sembolü (burada yy) yer alıyorsa, marjinal olasılık hesaplanırken integral sınırları bu değişkene bağlı kalacaktır, bu da bağımlılık yaratır.
3
Geometrik yorum yap
Üçgensel bölge bağımlılığı simgeler.
Dikdörtgen olmayan (üçgen, daire vb.) destek kümeleri, değişkenlerin değer aralıklarının birbirini kısıtladığı anlamına gelir.

Key Concept

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı ve Destek Kümesi İlişkisi

Hints

1
Değişkenlerin sınırlarında diğer değişkenin adının geçip geçmediğine bakın.
2
Bağımsızlık için xx ve yy eksenleri üzerinde çizilen bölgenin bir dikdörtgen (veya tüm düzlem) olması gerekir.

Practice More

Bağımsızlık durumunda E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] ve Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0 özelliklerini hatırlayınız.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı