Examkin

Question

Difficulty: HardJakobiyen ve Çok Değişkenli Dönüşümler
XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f(x,y)={2,0<x<y<10,dig˘erf(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
olarak verilmiştir.

U=YU = Y ve V=XYV = \frac{X}{Y} dönüşümleri tanımlanmıştır.

Buna göre, UU ve VV rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu h(u,v)h(u,v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. h(u,v)={2u,0<u<1, 0<v<10,dig˘erh(u,v) = \begin{cases} 2u, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}Answer
  2. B
    h(u,v)={−2u,0<u<1, 0<v<10,dig˘erh(u,v) = \begin{cases} -2u, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  3. C
    h(u,v)={2u,0<u<v<10,dig˘erh(u,v) = \begin{cases} 2u, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  4. D
    h(u,v)={2u,0<u<1, 0<v<10,dig˘erh(u,v) = \begin{cases} \frac{2}{u}, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  5. E
    h(u,v)={2,0<u<1, 0<v<10,dig˘erh(u,v) = \begin{cases} 2, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Answer

Doğru fonksiyon, Jakobiyen determinantının mutlak değerini hesaba katan ve sınırların 0 < u < 1 ile 0 < v < 1 olduğu 2u yoğunluk fonksiyonudur.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu hesaplanırken, öncelikle ters dönüşümler (x=uvx = uv, y=uy = u) bulunur. Bu dönüşümlerden elde edilen Jakobiyen determinantı J=−uJ = -u şeklindedir ve formül gereği mutlak değeri olan ∣J∣=u|J| = u çarpana dahil edilir. Sonrasında 0<x<y<10 < x < y < 1 sınırlaması, yeni değişkenler cinsinden 0<uv<u<10 < uv < u < 1 şeklinde yazılır. Sistemin u>0u > 0 barındırdığı göz önüne alınarak u'ya bölündüğünde, değişken aralıkları 0<v<10 < v < 1 ve 0<u<10 < u < 1 olarak kesinleşir. Son aşamada f(x,y)⋅∣J∣=2⋅u=2uf(x,y) \cdot |J| = 2 \cdot u = 2u çarpımı sonucunda, kare destek bölgesi üzerinde tanımlı doğru fonksiyon elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
U=YU = Y ve V=XYV = \frac{X}{Y} denklemlerini kullanarak xx ve yy değişkenlerini uu ve vv cinsinden ifade edin.
y=uy = u ve x=uvx = uv eşitlikleri elde edilir.
Jakobiyen matrisini oluşturmak için ters dönüşüm fonksiyonlarına ihtiyaç vardır.
2
Ters dönüşümler üzerinden Jakobiyen determinantını (JJ) ve mutlak değerini (∣J∣|J|) hesaplayın.
J=det⁡(vu10)=−uJ = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -u bulunur ve ∣J∣=u|J| = u olur.
Çok değişkenli dönüşümlerde, değişken uzayındaki alan deformasyonunu düzeltmek ve pozitif bir PDF elde etmek için Jakobiyen determinantının mutlak değeri kullanılır.
3
Orijinal bölge olan 0<x<y<10 < x < y < 1 eşitsizliğinde x=uvx = uv ve y=uy = u değerlerini yerine koyarak yeni tanım aralığını belirleyin.
0<uv<u<10 < uv < u < 1 eşitsizliği u>0u > 0 olduğu gerçeğiyle sadeleştirildiğinde yeni sınırlar 0<v<10 < v < 1 ve 0<u<10 < u < 1 olarak bulunur.
Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu dönüştürülmüş bölgeyi eksiksiz tanımlamak zorunludur.
4
Çok değişkenli dönüşüm teoremini uygulayarak h(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))⋅∣J∣h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| eşitliğini kurun.
h(u,v)=2⋅u=2uh(u,v) = 2 \cdot u = 2u fonksiyonu ve 0<u<1, 0<v<10 < u < 1, \ 0 < v < 1 aralığı elde edilir.
Tüm dönüşüm adımlarının birleştirilmesiyle (U,V)(U,V) değişkenlerinin nihai ortak PDF'sine ulaşılır.

Key Concept

İki Değişkenli Rastgele Değişken Dönüşümü ve Jakobiyen
Rate this question

Topics

Jakobiyen ve Çok Değişkenli Dönüşümler