Examkin

Question

Difficulty: MediumKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir fabrikada üretilen ürünlerin kalite kontrol sürecinde, rastgele seçilen 4 ürün incelenmektedir. İncelenen ürünler arasındaki kusurlu ürün sayısı XX ile gösterilmekte olup, X∼Binom(4,θ)X \sim \text{Binom}(4, \theta) dağılımına sahiptir. Burada θ∈(0,1)\theta \in (0,1), üretilen herhangi bir ürünün kusurlu olma olasılığıdır.

Karesel kayıp fonksiyonu L(θ,d)=(θ−d)2L(\theta, d) = (\theta - d)^2 altında θ\theta parametresi için T(X)=cX+dT(X) = cX + d biçiminde doğrusal bir tahmin edici oluşturulmak isteniyor.

Bu tahmin edicinin riskinin (hata kareler ortalaması) θ\theta'dan bağımsız olarak sabit bir değer alması ve aynı zamanda bir minimax tahmin edici olması için (c,d)(c, d) sabitleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. A
    (14,0)\left(\frac{1}{4}, 0\right)
  2. B
    (14,18)\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right)
  3. C
    (15,110)\left(\frac{1}{5}, \frac{1}{10}\right)
  4. D
    (16,112)\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)
  5. (16,16)\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right)Answer

Answer

Minimax tahmin ediciyi sağlayan ve riski minimize ederek sabitleyen katsayılar (16,16)\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right) değerleridir.
Karesel kayıp fonksiyonu altında risk, Var(T)+[Yan(T)]2\text{Var}(T) + [\text{Yan}(T)]^2 formülü ile bulunur. Sabit bir risk elde etmek için, bu ifade açıldığında θ\theta ve θ2\theta^2'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. θ2\theta^2'nin katsayısı olan 12c2−8c+1=012c^2 - 8c + 1 = 0 denkleminin çözümünden c=1/6c=1/6 ve c=1/2c=1/2 kökleri çıkar. Minimax kuralı, olası en yüksek riski minimize etmeyi gerektirir. c=1/2,d=−1/2c=1/2, d=-1/2 ikilisi 1/41/4 risk üretirken; c=1/6,d=1/6c=1/6, d=1/6 ikilisi 1/361/36 değerinde daha küçük bir maksimum risk üretir. Bu sebeple minimax çözüm (1/6,1/6)(1/6, 1/6) olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
T(X)=cX+dT(X) = cX + d tahmin edicisi için karesel kayıp altında risk fonksiyonunu (Hata Kareler Ortalaması) oluşturunuz.
R(θ,T)=Var(cX+d)+[Yan(cX+d)]2=4c2θ(1−θ)+(θ(4c−1)+d)2R(\theta, T) = \text{Var}(cX+d) + [\text{Yan}(cX+d)]^2 = 4c^2\theta(1-\theta) + (\theta(4c-1) + d)^2
Karesel kayıp fonksiyonunda beklenen risk, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olarak ifade edilir.
2
Elde edilen risk fonksiyonunu θ\theta parametresinin kuvvetlerine göre düzenleyerek katsayıları gruplayınız.
R(θ,T)=θ2[−4c2+(4c−1)2]+θ[4c2+2d(4c−1)]+d2R(\theta, T) = \theta^2[-4c^2 + (4c-1)^2] + \theta[4c^2 + 2d(4c-1)] + d^2
Riskin θ\theta'dan bağımsız sabit bir değer olabilmesi için, denklemdeki θ2\theta^2 ve θ\theta terimlerinin yok edilmesi gerekir.
3
Öncelikle θ2\theta^2'nin katsayısını sıfıra eşitleyerek olası cc köklerini hesaplayınız.
12c2−8c+1=0  ⟹  (6c−1)(2c−1)=012c^2 - 8c + 1 = 0 \implies (6c-1)(2c-1) = 0. Buradan kökler c1=1/6c_1 = 1/6 ve c2=1/2c_2 = 1/2 bulunur.
İkinci dereceden bağımlılığı ortadan kaldırmak sabit risk için ilk koşuldur.
4
Bulunan iki farklı cc değeri için θ\theta'nın katsayısını sıfırlayan dd değerlerini ve ortaya çıkan sabit riskleri karşılaştırınız.
c=1/2c=1/2 için d=−1/2d=-1/2 olur, Sabit Risk =d2=1/4= d^2 = 1/4'tür.
c=1/6c=1/6 için d=1/6d=1/6 olur, Sabit Risk =d2=1/36= d^2 = 1/36'dır.
1/36<1/41/36 < 1/4 olduğu için maksimum riski minimize eden değerler seçilir.
Minimax tahmin edici, sabit risk değerleri arasından en küçük olanı (minimum maksimum risk) sağlayan parametre çiftini gerektirir.

Key Concept

Minimax Tahmin Edici ve Sabit Risk İncelemesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

More questions from this topic