Bir araştırmacı, X veri setinde yer alan p=3 değişken ile Y veri setinde yer alan q=4 deği… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $X$ veri setinde yer alan $p=3$ değişken ile $Y$ veri setinde yer alan $q=4$ değişken arasındaki ilişkiyi incelemek için Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) uygulamaktadır. Analiz sonucunda elde edilen $K = R_{XX}^{-1} R_{XY} R_{YY}^{-1} R_{YX}$ matrisinin izi (trace) $1.21$ ve determinantı $0.011664$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmada elde edilen en büyük (birinci) kanonik korelasyon katsayısının $\rho_1 = 0.90$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre; elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı, **ikinci kanonik korelasyon katsayısı ( $\rho_2$ )** ve birinci kanonik değişken çiftinin $X$ seti bileşeni ( $U_1$ ) ile ikinci kanonik değişken çiftinin $Y$ seti bileşeni ( $V_2$ ) arasındaki **kovaryans ( $Cov(U_1, V_2)$ )** değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

$3 \quad ; \quad 0.60 \quad ; \quad 0$ Answer
B
$4 \quad ; \quad 0.36 \quad ; \quad 0$
C
$7 \quad ; \quad 0.60 \quad ; \quad 0.54$
D
$3 \quad ; \quad 0.31 \quad ; \quad 0.90$

Answer

Doğru değerler sırasıyla 3 adet çift, 0.60 korelasyon katsayısı ve 0 kovaryans değeridir.

Doğru seçenekte, değişken setlerinin boyutlarına göre en fazla min(3,4)=3 çift oluşturulacağı doğru tespit edilmiştir. Matrisin izi ve determinantı özellikleri kullanılarak ikinci özdeğer λ2 = 0.36 bulunmuş ve karekökü alınarak ρ2 = 0.60 elde edilmiştir. Son olarak, farklı indisli kanonik değişkenler (U1 ve V2) arasındaki kovaryansın KKA'nın diklik prensibi gereği sıfır olacağı doğru şekilde verilmiştir.

Step-by-Step Solution

Maksimum kanonik değişken çifti sayısını belirleme.

min(p, q) = min(3, 4) = 3 çift elde edilir.

Kanonik değişken çifti sayısı, setlerdeki değişken sayılarından küçük veya eşit olanı kadar tanımlanabilir.

Birinci özdeğeri (λ1) hesaplama.

ρ1 = 0.90 olduğundan, λ1 = (0.90)² = 0.81 olarak bulunur.

Kanonik korelasyon katsayıları, K matrisinin özdeğerlerinin pozitif kareköküdür.

Kalan özdeğerlerin toplamını ve çarpımını bulma.

λ2 + λ3 = 1.21 - 0.81 = 0.40 ve λ2 × λ3 = 0.011664 / 0.81 = 0.0144.

Bir matrisin izi (trace) özdeğerlerin toplamına, determinantı ise özdeğerlerin çarpımına eşittir.

İkinci özdeğeri (λ2) ve ikinci kanonik korelasyon katsayısını (ρ2) hesaplama.

x² - 0.40x + 0.0144 = 0 denkleminden kökler 0.36 ve 0.04 bulunur. Büyük olan λ2 = 0.36'dır. Buradan ρ2 = √0.36 = 0.60 elde edilir.

Kanonik korelasyon katsayıları büyüklük sırasına göre dizilir, dolayısıyla ikinci büyük özdeğer seçilir ve karekökü alınır.

Farklı kanonik değişken çiftleri arasındaki kovaryansı belirleme.

Cov(U1, V2) = 0

Kanonik Korelasyon Analizi'nin varsayımı ve kurgusu gereği, farklı indisli (i ≠ j) kanonik değişkenler birbirine ortogonaldir (diktir) ve aralarındaki korelasyon/kovaryans sıfırdır.

Key Concept

Kanonik Korelasyon Analizinde Özdeğerler, Matris İzi ve Diklik (Ortogonallik) Özellikleri

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic