Examkin

Question

Difficulty: MediumYenileme Teorisi

Bir devlet hastanesindeki tıbbi görüntüleme cihazının belirli bir parçasının çalışma ömrü (yıl cinsinden), şekil parametresi α=2\alpha = 2 ve ölçek parametresi θ=3\theta = 3 olan Gamma dağılımına uymaktadır. Parça arızalandığında anında yeni bir parça ile değiştirilmektedir ve bu süreç bir yenileme süreci (renewal process) oluşturmaktadır.

M(t)M(t), (0,t](0, t] zaman aralığında yapılan parça değişim sayısının beklenen değeri (yenileme fonksiyonu) olmak üzere, Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre uzun dönemdeki birim zaman başına ortalama yenileme sayısı, yani lim⁡t→∞M(t)t\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16\frac{1}{6}Answer
  2. B
    66
  3. C
    23\frac{2}{3}
  4. D
    118\frac{1}{18}
  5. E
    13\frac{1}{3}

Answer

Uzun dönemdeki birim zaman başına ortalama yenileme sayısı 16\frac{1}{6}'dır.
Verilen problemde yenileme süreleri Gamma(2, 3) dağılımına sahiptir. Bu dağılımın beklenen değeri μ=α×θ=2×3=6\mu = \alpha \times \theta = 2 \times 3 = 6 yıldır. Temel Yenileme Teoremi'ne göre, uzun vadede birim zamandaki ortalama yenileme sayısı (yenileme hızı), beklenen ardışık yenileme süresinin tersine eşittir. Bu nedenle limit değeri 1/μ=1/61/\mu = 1/6 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Parçanın çalışma ömrünün (gelişler arası sürenin) beklenen değerini hesaplayın.
μ=E[X]=α×θ=2×3=6\mu = E[X] = \alpha \times \theta = 2 \times 3 = 6 yıl.
Yenileme teorisinde, uzun dönem davranışını belirleyen temel faktör bağımsız ve aynı dağılımlı yenileme sürelerinin beklenen değeridir.
2
Temel Yenileme Teoremi'ni (Elementary Renewal Theorem) uygulayın.
lim⁡t→∞M(t)t=1μ=16\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{6}.
Teorem, uzun dönemde birim zaman başına ortalama yenileme sayısının (yenileme oranının), bir yenilemenin beklenen süresinin çarpmaya göre tersine eşit olduğunu ifade eder.

Key Concept

Temel Yenileme Teoremi ve Gamma Dağılımının Beklenen Değeri
Rate this question

Topics

Yenileme Teorisi

More questions from this topic