Yenileme Teorisi

Bir devlet hastanesindeki tıbbi görüntüleme cihazının belirli bir parçasının çalışma ömrü (yıl cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 2$ ve ölçek parametresi $\theta = 3$ olan Gamma dağılımına uymaktadır. Parça arızalandığında anında yeni bir parça ile değiştirilmektedir ve bu süreç bir yenileme süreci (renewal process) oluşturmaktadır.

$M(t)$, $(0, t]$ zaman aralığında yapılan parça değişim sayısının beklenen değeri (yenileme fonksiyonu) olmak üzere, Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre uzun dönemdeki birim zaman başına ortalama yenileme sayısı, yani $\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir il özel idaresine ait iş makinelerinin hidrolik pompaları arızalandıkça anında yenileriyle değiştirilmektedir. Bir hidrolik pompanın arızasız çalışma süresi (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni olup, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

$M(t)$, $(0, t]$ zaman aralığında değiştirilen hidrolik pompa sayısının beklenen değerini (yenileme fonksiyonu) göstermektedir.
Buna göre, temel yenileme teoremine (Elementary Renewal Theorem) göre uzun dönemde yıllık ortalama pompa değiştirme hızı olan $\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir e-ticaret platformunun sipariş işleme sunucusuna gelen ardışık iki veri paketi arasındaki süreler birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlıdır. Bu süreler (milisaniye cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 2$ ve ölçek parametresi $\theta = 3$ olan Gamma dağılımı ile modellenmektedir.

Ulusal bir meteoroloji gözlem ağında, istasyonlardaki rüzgâr hızı ölçüm sensörleri arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Bu sensörlerin arızasız çalışma süreleri (ay cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 5$ ve ölçek parametresi $\beta = 3$ olan Gamma dağılımına sahip, birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir.

Buna göre, $M(t)$ fonksiyonu $t$ anına kadar gerçekleşen beklenen sensör yenileme sayısını göstermek üzere; uzun dönemde birim zamandaki ortalama yenileme oranını ifade eden $\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}$ limitinin değeri kaçtır?

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde kullanılan tam otomatik seraların iklimlendirme sistemlerindeki özel filtreler, işlevini yitirdiği anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bir filtrenin çalışma ömrü (ay cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 4$ ve oran (rate) parametresi $\lambda = 0,5$ olan Gamma dağılımına sahiptir. Filtrelerin ömürleri birbirinden bağımsızdır.

$N(t)$, $(0, t]$ zaman aralığında gerçekleştirilen toplam filtre yenileme sayısını ve $M(t) = E[N(t)]$ beklenen yenileme sayısını (yenileme fonksiyonu) göstermektedir.

Buna göre, uzun dönemde birim zaman başına beklenen yenileme oranı $\left( \lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} \right)$ ile yenileme sayısının asimptotik varyans oranı $\left( \lim_{t \to \infty} \frac{Var(N(t))}{t} \right)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Bir tekstil atölyesinde kullanılan dikiş makinelerinin motor kayışları, koptukları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Bir motor kayışının kopana kadar geçen çalışma süresi, beklenen değeri $\mu = 8$ saat olan bir dağılıma sahiptir. Yenileme fonksiyonu $M(t) = E[N(t)]$ ile gösterildiğine göre, Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) dayanarak bu yenileme sürecinde uzun dönemde ($t \to \infty$) birim zamanda gerçekleşen beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir belediyenin toplu taşıma araçlarında kullanılan elektronik bilet okuma cihazlarının kritik bir bileşeni, arızalandığı anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bu bileşenlerin arızasız kullanım süreleri (ömürleri) birbirinden bağımsız ve özdeş dağılımlı olup ortalama çalışma süresi $4$ aydır. Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, uzun dönemde bu cihazlar için yıllık beklenen (ortalama) yenileme sayısı kaçtır?

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde bulunan kesintisiz güç kaynaklarının (UPS) aküleri, işlevlerini yitirdikleri anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Akülerin kullanım ömürleri, beklenen değeri $\mu = 4$ yıl olan, birbirlerinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir. Buna göre, Temel Yenileme Teoremi uyarınca uzun vadede birim zaman başına beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir üniversite kütüphanesinde kullanılan dijital arşivleme cihazının okuyucu kafası, arızalandığı anda vakit kaybetmeden yenisiyle değiştirilmektedir. Okuyucu kafasının kullanım ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri $\mu = 400$ saat olan bir rastgele değişkendir. Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, uzun dönemde birim zamanda ($1$ saatte) gerçekleşmesi beklenen ortalama yenileme sayısı kaçtır?

Bir kamu binasının merkezi iklimlendirme sisteminde kullanılan özel bir hava filtresi, her arızalandığında bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Filtrelerin arızalanması arasında geçen sürelerin ortalaması $4$ ay olan bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele değişkenler olduğu bilinmektedir. Buna göre, bu yenileme sürecinin uzun dönemdeki birim zamandaki (aylık) beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir vergi dairesindeki dijital arşivleme sisteminde kullanılan optik okuyucuların ömürleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenlerdir. Okuyucuların ortalama ömrü $4$ ay olarak hesaplanmıştır. Arızalanan bir okuyucu bekletilmeksizin yenisiyle değiştirildiğine göre, Temel Yenileme Teoremi (Elementary Renewal Theorem) uyarınca uzun dönemde birim zamanda (ay başına) gerçekleşen beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir belediyeye ait su arıtma tesisinde kullanılan dozaj pompalarının kullanım ömürleri, ortalaması $4$ yıl olan bağımsız ve aynı dağılımlı ($i.i.d.$) rastgele değişkenlerdir. Arızalanan bir pompa vakit kaybedilmeden yenisiyle değiştirilmektedir. Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, uzun dönemde ($t \rightarrow \infty$) birim zaman (yıl) başına beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde kullanılan bir dijital tarayıcının lambasının kullanım ömrü, ortalaması $8$ ay olan bağımsız ve aynı dağılımlı ($i.i.d.$) rastgele değişkenlerdir. Arızalanan lamba bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Temel Yenileme Teoremi'ne göre, uzun dönemde bu lamba için beklenen yıllık yenileme sayısı kaçtır?

Bir kamu hastanesinin girişinde bulunan otomatik dezenfektan cihazlarının pompaları, arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bu pompaların kullanım ömürleri, ortalaması $4$ gün olan bağımsız ve aynı dağılımlı ($i.i.d.$) rastgele değişkenlerdir. Temel Yenileme Teoremi'ne göre, uzun dönemde ($t \to \infty$) birim günde beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Büyük ölçekli bir veri merkezindeki sunucu soğutma fanları, arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmekte ve bu ardışık değiştirme zamanları bir yenileme süreci (renewal process) oluşturmaktadır. Fanların çalışma ömürleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir. Bir fanın çalışma ömrünün beklenen değeri $\mu = 20$ ay ve varyansı $\sigma^2 = 100 \text{ ay}^2$'dir.

Buna göre, sistem çok uzun süredir faaliyette iken ($t \to \infty$), rastgele seçilen ileri bir $t$ anında sistemde çalışmakta olan fanın, sisteme takıldığı andan tamamen arızalanana kadar geçen toplam çalışma ömrünün beklenen değeri kaç aydır?