Bir kamu kurumu tarafından yürütülen çevre denetimleri kapsamında, bir göldeki su kirliliğ… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen çevre denetimleri kapsamında, bir göldeki su kirliliği seviyesini belirlemek amacıyla kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitle incelenmektedir. Bu kitleden rastgele seçilen $n=2$ birimlik bir örneklem ( $X_1, X_2$ ) kullanılarak $\mu$ parametresi için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2}{2}

T_2 = \frac{X_1 + 2X_2}{3}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) aşağıdakilerden hangisidir?

$10/9$ Answer
B
$9/10$
C
$5/9$
D
$4/9$
E
$1$

Answer

İki yansız tahmin edici arasındaki göreli etkinlik

10/9

olarak hesaplanır.

Tahmin edicilerin varyansları hesaplandığında

Var(T_1) = 0.5\sigma^2

Var(T_2) \approx 0.55\sigma^2

olduğu görülür. Göreli etkinlik formülü

RE(T_1, T_2) = Var(T_2) / Var(T_1)

uygulandığında

(5/9) / (1/2) = 10/9

sonucu elde edilir. Bu değer 1'den büyük olduğu için

T_1

tahmin edicisi

T_2

tahmin edicisine göre daha etkindir.

Step-by-Step Solution

T_1

(örneklem ortalaması) tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(T_1) = Var(\frac{X_1 + X_2}{2}) = \frac{1}{4}Var(X_1) + \frac{1}{4}Var(X_2) = \frac{2\sigma^2}{4} = \frac{\sigma^2}{2}

Bağımsız gözlemlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir ve katsayılar kareleri alınarak dışarı çıkar.

T_2

(ağırlıklı ortalama) tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(T_2) = Var(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2) = \frac{1}{9}Var(X_1) + \frac{4}{9}Var(X_2) = \frac{5\sigma^2}{9}

İkinci tahmin edicinin katsayıları

1/3

2/3

olduğundan varyans hesabı bu katsayıların kareleri üzerinden yapılır.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini (

RE

) hesaplayın.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{5\sigma^2/9}{\sigma^2/2} = \frac{5}{9} \times \frac{2}{1} = \frac{10}{9}

Göreli etkinlik, referans alınan tahmin edicinin varyansının paydada olduğu varyanslar oranıdır.

Key Concept

Göreli etkinlik, iki yansız tahmin edicinin varyanslarının birbirine oranıdır ve varyansı küçük olan tahmin edici daha etkindir.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic