Examkin

Question

Difficulty: HardEn Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

Bir kamu kurumunda görevli uzman, YY bağımlı değişkeni ile XX bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi tahmin etmek amacıyla EKK yöntemini kullanmış ve basit doğrusal regresyon denklemini Y^i=25+4Xi\hat{Y}_i = 25 + 4X_i şeklinde elde etmiştir.

Daha sonra raporlama standartlarına uymak için veri setinde bir ölçek dönüşümü yapmış; bağımlı değişkenin tüm değerlerini 5 ile (Yi∗=5YiY^*_i = 5Y_i), bağımsız değişkenin tüm değerlerini ise 2 ile (Xi∗=2XiX^*_i = 2X_i) çarparak yeni bir veri seti oluşturmuştur.

Buna göre, uzman yeni değişkenlerle Yi∗=α0+α1Xi∗+uiY^*_i = \alpha_0 + \alpha_1 X^*_i + u_i modelini EKK ile tahmin ettiğinde, elde edeceği yeni sabit terim (α^0\hat{\alpha}_0) ve eğim katsayısı (α^1\hat{\alpha}_1) değerleri aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla ve doğru olarak verilmiştir?

  1. A
    α^0=125\hat{\alpha}_0 = 125 ve α^1=1,6\hat{\alpha}_1 = 1,6
  2. B
    α^0=125\hat{\alpha}_0 = 125 ve α^1=20\hat{\alpha}_1 = 20
  3. α^0=125\hat{\alpha}_0 = 125 ve α^1=10\hat{\alpha}_1 = 10Answer
  4. D
    α^0=25\hat{\alpha}_0 = 25 ve α^1=10\hat{\alpha}_1 = 10
  5. E
    α^0=50\hat{\alpha}_0 = 50 ve α^1=8\hat{\alpha}_1 = 8

Answer

Yeni modelin sabit terimi 125, eğim katsayısı ise 10'dur.
Veri setinde yapılan doğrusal dönüşümler regresyon modelinin katsayılarını cebirsel kurallara göre değiştirir. Yeni bağımlı değişken Yi∗=5YiY^*_i = 5Y_i ve yeni bağımsız değişken Xi∗=2XiX^*_i = 2X_i olduğunda, orijinal regresyon denklemi olan Y^i=25+4Xi\hat{Y}_i = 25 + 4X_i'de YiY_i yerine Yi∗/5Y^*_i/5 ve XiX_i yerine Xi∗/2X^*_i/2 yazılıp denklem Y^i∗\hat{Y}^*_i için çözüldüğünde Y^i∗=125+10Xi∗\hat{Y}^*_i = 125 + 10X^*_i elde edilir. Bu nedenle yeni sabit terim 125, yeni eğim katsayısı ise 10 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm formüllerinden orijinal değişkenleri yalnız bırakma.
Yi∗=5Yi⇒Yi=Yi∗5Y^*_i = 5Y_i \Rightarrow Y_i = \frac{Y^*_i}{5} ve Xi∗=2Xi⇒Xi=Xi∗2X^*_i = 2X_i \Rightarrow X_i = \frac{X^*_i}{2} ifadeleri elde edilir.
Orijinal tahmini regresyon denklemi üzerinden yeni katsayıları bulabilmek için değişkenlerin eski formlarının yerine yeni formlarının yazılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri orijinal tahmini regresyon denkleminde (Y^i=25+4Xi\hat{Y}_i = 25 + 4X_i) yerine koyma.
Y^i∗5=25+4(Xi∗2)\frac{\hat{Y}^*_i}{5} = 25 + 4 \left( \frac{X^*_i}{2} \right) denklemi kurulur.
Regresyon doğrusunun matematiksel özellikleri gereği, veri setindeki doğrusal dönüşümler doğrudan doğrunun denklemine yansıtılabilir.
3
Denklemi Y^i∗\hat{Y}^*_i bağımlı değişkenini yalnız bırakacak şekilde düzenleme.
Eşitliğin her iki tarafı 5 ile çarpılır: Y^i∗=125+5×(4Xi∗2)⇒Y^i∗=125+10Xi∗\hat{Y}^*_i = 125 + 5 \times \left( \frac{4 X^*_i}{2} \right) \Rightarrow \hat{Y}^*_i = 125 + 10 X^*_i bulunur.
Yeni regresyon denklemini Y^i∗=α^0+α^1Xi∗\hat{Y}^*_i = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 X^*_i standart formuna getirmek ve parametre tahminlerini doğrudan okuyabilmek için gereklidir.
4
Yeni parametre tahminlerini standart form ile karşılaştırarak belirleme.
Denklemden yola çıkılarak α^0=125\hat{\alpha}_0 = 125 ve α^1=10\hat{\alpha}_1 = 10 olarak tespit edilir.
Standart model formuyla elde edilen katsayıları eşleştirmek nihai sonuca ulaşmayı sağlar.

Key Concept

EKK Tahmincilerinde Veri Ölçeklendirme ve Lineer Dönüşüm

Alternative Method

Alternatif olarak EKK formülleri doğrudan kullanılabilir: α^1=∑xi∗yi∗∑(xi∗)2=∑(2xi)(5yi)∑(2xi)2=10∑xiyi4∑xi2=2,5×β^1=2,5×4=10\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum x^*_i y^*_i}{\sum (x^*_i)^2} = \frac{\sum (2x_i)(5y_i)}{\sum (2x_i)^2} = \frac{10 \sum x_i y_i}{4 \sum x_i^2} = 2,5 \times \hat{\beta}_1 = 2,5 \times 4 = 10. Yeni sabit terim ise α^0=Yˉ∗−α^1Xˉ∗=5Yˉ−10(2Xˉ)=5(Yˉ−4Xˉ)=5×β^0=5×25=125\hat{\alpha}_0 = \bar{Y}^* - \hat{\alpha}_1 \bar{X}^* = 5\bar{Y} - 10(2\bar{X}) = 5(\bar{Y} - 4\bar{X}) = 5 \times \hat{\beta}_0 = 5 \times 25 = 125 formülüyle doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

More questions from this topic