Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir referans noktasına göre ölçülen rüzgâr hızındaki… — KPSS İstatistik

Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir referans noktasına göre ölçülen rüzgâr hızındaki anlık sapmalar $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{x+2}{8}, & -2 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bir rüzgâr türbininin ürettiği enerjideki dalgalanma gücü ise $Y = (X-1)^2$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin $0 < y < 1$ aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{3}{8\sqrt{y}}$ Answer
B
$\frac{3+\sqrt{y}}{16\sqrt{y}}$
C
$\frac{3-\sqrt{y}}{16\sqrt{y}}$
D
$\frac{3}{4}$
E
$\frac{\sqrt{y}}{4}$

Answer

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{3}{8\sqrt{y}}

ifadesidir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanıldığında,

F_Y(y) = P(Y \le y) = P((X-1)^2 \le y) = P(1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y})

elde edilir.

0 < y < 1

koşulunda bu sınırların her ikisi de

X

'in tanımlı olduğu

(-2, 2)

aralığına düşer. Yoğunluk fonksiyonunu bulmak için zincir kuralı ile türev alındığında,

f_Y(y) = f_X(1+\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(1-\sqrt{y}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)

işlemi uygulanır. Verilen

f_X(x)

ifadesi yerine yazıldığında sonuç

\frac{3}{8\sqrt{y}}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Y \le y

eşitsizliğinden yola çıkarak

X

için geçerli aralığı belirlemek.

(X-1)^2 \le y \implies -\sqrt{y} \le X-1 \le \sqrt{y} \implies 1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y}

elde edilir.

Değişken dönüşümünde öncelikle birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) sınırlarını

X

cinsinden ifade etmeliyiz.

Bulunan sınırların, verilen

0 < y < 1

aralığı için

X

'in tanımlı olduğu

(-2, 2)

aralığında kalıp kalmadığını kontrol etmek.

0 < y < 1

iken

0 < \sqrt{y} < 1

olur. Bu durumda alt sınır

0 < 1-\sqrt{y} < 1

ve üst sınır

1 < 1+\sqrt{y} < 2

aralığındadır. Her iki sınır da

(-2, 2)

aralığına dahildir.

İntegral sınırlarının fonksiyonun geçerli olduğu (sıfırdan farklı olduğu) destek kümesinde olup olmadığını doğrulamak hatalı olasılık hesabını önler.

F_Y(y)

birikimli dağılım fonksiyonunu yazarak

y

'ye göre türevini (PDF) almak.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}[F_X(1+\sqrt{y}) - F_X(1-\sqrt{y})] = f_X(1+\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(1-\sqrt{y})\left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)

işlemini uygulamak.

Rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun birinci türevidir ve zincir kuralı gerektirir.

Verilen

f_X(x) = \frac{x+2}{8}

fonksiyonunda sınır değerlerini yerine yazıp işlemi tamamlamak.

f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{1+\sqrt{y}+2}{8} + \frac{1-\sqrt{y}+2}{8} \right] = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{6}{8} \right] = \frac{3}{8\sqrt{y}}

olarak bulunur.

Yerine koyma ve cebirsel sadeleştirme ile nihai olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics