Examkin

Question

Difficulty: HardEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

İstatistiksel sonuç çıkarım sürecinde, standart analitik varsayımları (türevlenebilirlik, integral ve türev sırasının değiştirilebilmesi vb.) sağlayan bir f(x;α)f(x;\alpha) dağılımından çekilen nn hacimli bağımsız bir örneklem üzerinden α\alpha parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi TnT_n olarak bulunmuştur. g(α)g(\alpha), α\alpha'nın sürekli ve birinci türevi sıfırdan farklı bir fonksiyonu olmak üzere, g(α)g(\alpha) için en çok olabilirlik tahmin edicisi Yn=g(Tn)Y_n = g(T_n) şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre, TnT_n ve YnY_n tahmin edicilerinin özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Dönüşüm prensibi gereği YnY_n, g(α)g(\alpha) için en çok olabilirlik tahmin edicisidir; sürekli eşleştirme teoremi sayesinde TnT_n'nin tutarlılığı YnY_n'ye aktarılırken, TnT_n yansız olsa dahi gg fonksiyonu doğrusal olmadığında YnY_n genellikle yansızlık özelliğini yitirir.Answer
  2. B
    YnY_n'nin g(α)g(\alpha) için geçerli bir en çok olabilirlik tahmin edicisi olabilmesi için gg fonksiyonunun mutlak surette birebir bir fonksiyon olması şarttır, aksi halde maksimum değeri veren nokta tekil olmaz ve kural işlemez.
  3. C
    En çok olabilirlik tahmin edicileri asimptotik olarak yansız olduğundan, TnT_n istatistiği α\alpha için yansız ise fonksiyonel yapı fark etmeksizin YnY_n de g(α)g(\alpha) için tüm örneklem çaplarında yansız kalır.
  4. D
    Asimptotik teoride TnT_n'nin varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşitlendiği için, YnY_n'nin asimptotik varyansı hesaplanırken gg fonksiyonunun türevi dikkate alınmaz ve her iki tahmin edicinin varyansı birbirine eşit olur.
  5. E
    YnY_n tahmin edicisinin bulunabilmesi için, temel olabilirlik fonksiyonunun g(α)g(\alpha) cinsinden ifade edildikten sonra logaritmasının alınıp g(α)g(\alpha) parametresine göre türevlenerek denklemin yeniden çözülmesi gereklidir.

Answer

Dönüşüm prensibi (invariance) sayesinde YnY_n'nin g(α)g(\alpha) için geçerli bir tahmin edici olduğu, tutarlılığın korunduğu ancak doğrusal olmayan fonksiyonlar altında yansızlığın bozulabildiği ifade edilmektedir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin dönüşüm kuralı, dönüşüm fonksiyonunun birebir olmasını gerektirmez ve hesaplanan değer doğrudan fonksiyonda yerine yazılabilir. Bununla birlikte, sürekli eşleştirme teoremi sayesinde tutarlılık özelliği dönüşüm sonrasına taşınırken; beklenti operatörünün doğrusal olmayan fonksiyonlar karşısındaki asimetrisi (Jensen eşitsizliği) nedeniyle, başlangıçtaki yansızlık durumu bozulur.

Step-by-Step Solution

1
En çok olabilirlik tahmin edicilerinde dönüşüm kuralının kapsamı ve geçerlilik şartları değerlendirilir.
gg fonksiyonu birebir olmasa dahi g(Tn)g(T_n)'nin g(α)g(\alpha) için en çok olabilirlik tahmin edicisi olduğu sonucuna varılır.
Zehna teoremi, olabilirlik maksimizasyonunun parametre uzayının herhangi bir fonksiyonel eşlemesi altında da geçerli olduğunu kanıtlamıştır.
2
Tahmin edicilerin asimptotik özellikleri ve bu özelliklerin fonksiyonel dönüşüm altındaki davranışları incelenir.
Sürekli eşleştirme (continuous mapping) teoremi sayesinde TnT_n'nin tutarlılığının g(Tn)g(T_n)'ye doğrudan aktarıldığı görülür.
Olasılıkta yakınsama özelliği, limit işleminin sürekli fonksiyonlarla yer değiştirebilmesi kuralı gereği korunmaktadır.
3
Yansızlık özelliğinin doğrusal ve doğrusal olmayan dönüşümler altındaki matematiksel yapısı analiz edilir.
Beklenen değer operatörünün doğrusal olmayan fonksiyonlarla yer değiştirememesi nedeniyle yansızlığın genellikle kaybolduğu tespit edilir.
Jensen eşitsizliğine göre, gg doğrusal bir fonksiyon değilse E[g(Tn)]≠g(E[Tn])E[g(T_n)] \neq g(E[T_n]) eşitliği geçerlidir ve bu da sapmaya (bias) yol açar.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Dönüşüm Özelliği ve Asimptotik Davranışları
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

More questions from this topic