Examkin

Question

Difficulty: HardDoğrusal Programlama Modeli Kurma

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma filosu için "Standart" (x1x_1) ve "Körüklü" (x2x_2) olmak üzere iki tip yeni elektrikli otobüs alımı planlamaktadır. Bu otobüslerin günlük işletme maliyetleri standart tip için 12001200 TL, körüklü tip için ise 18001800 TL'dir.

Belediyenin günlük yolcu talebini karşılayabilmesi için bu yeni otobüslerin toplam taşıma kapasitesi en az 45004500 kişi olmalıdır. Bir standart otobüs 8080 kişi, bir körüklü otobüs ise 150150 kişi kapasitelidir. Otobüslerin park edileceği garajın kapasitesi sınırlı olduğundan, alınacak toplam otobüs sayısı 4040'ı aşmamalıdır. Ayrıca, dar sokaklarda manevra kabiliyetini korumak amacıyla, alınacak standart otobüs sayısı, körüklü otobüs sayısının en az iki katı olmalıdır.

Belediye, belirtilen tüm kısıtların karşılanmasını sağlarken günlük toplam işletme maliyetini en küçükleyen doğrusal programlama modelini kurmak istemektedir.

Buna göre, bu problemin matematiksel modeli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    max⁡Z=1200x1+1800x2Kısıtlar:80x1+150x2≥4500x1+x2≤40x1−2x2≥0x1,x2≥0\begin{array}{l} \max Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - 2x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}
  2. B
    min⁡Z=1200x1+1800x2Kısıtlar:80x1+150x2≤4500x1+x2≥40x1−2x2≤0x1,x2≥0\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \leq 4500 \\ x_1 + x_2 \geq 40 \\ x_1 - 2x_2 \leq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}
  3. min⁡Z=1200x1+1800x2Kısıtlar:80x1+150x2≥4500x1+x2≤40x1−2x2≥0x1,x2≥0\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - 2x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}Answer
  4. D
    min⁡Z=1200x1+1800x2Kısıtlar:80x1+150x2≥4500x1+x2≤402x1−x2≥0x1,x2≥0\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}
  5. E
    min⁡Z=1200x1+1800x2Kısıtlar:80x1+150x2≥4500x1+x2≤40x1−x2≥2\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - x_2 \geq 2 \end{array}

Answer

Amaç fonksiyonunun maliyet minimizasyonu (min Z) olduğu, kapasitenin en az 4500 (büyük eşit), araç sayısının en fazla 40 (küçük eşit) olduğu ve standart otobüs sayısının körüklünün en az iki katı olması kısıtının x1−2x2≥0x_1 - 2x_2 \geq 0 olarak modellendiği, ayrıca negatif olmama koşullarını barındıran seçenektir.
İşletme maliyeti minimize edilmek istendiği için amaç fonksiyonu min⁡Z=1200x1+1800x2\min Z = 1200x_1 + 1800x_2 olmalıdır. Toplam kapasitenin en az 4500 kişi olması gerektiği için 80x1+150x2≥450080x_1 + 150x_2 \geq 4500 eşitsizliği, toplam araç sayısının 40'ı aşmaması gerektiğinden x1+x2≤40x_1 + x_2 \leq 40 eşitsizliği yazılır. Standart otobüs sayısının (x1x_1), körüklü otobüs sayısının (x2x_2) en az iki katı olması şartı x1≥2x2x_1 \geq 2x_2 yani x1−2x2≥0x_1 - 2x_2 \geq 0 şeklinde modellenir. Otobüs sayısı reel bir fiziksel nesne olduğundan ve eksi değer alamayacağından x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0 negatif olmama kısıtları da modele mutlaka eklenmelidir.

Step-by-Step Solution

1
Amaç fonksiyonunu oluşturma.
Maliyet en küçüklenmek istendiği için min⁡Z=1200x1+1800x2\min Z = 1200x_1 + 1800x_2 fonksiyonu yazılır.
Problemde günlük işletme maliyetini en küçükleyen model kurulması istenmektedir.
2
Fiziksel kapasite ve limit kısıtlarını yazma.
Kapasite için 80x1+150x2≥450080x_1 + 150x_2 \geq 4500 ve garaj limiti için x1+x2≤40x_1 + x_2 \leq 40 kısıtları elde edilir.
Metindeki 'en az 4500 kişi' ifadesi ≥\geq (büyük eşit), '40'ı aşmamalıdır' ifadesi ise ≤\leq (küçük eşit) kullanılarak matematikselleştirilir.
3
Oran kısıtını ve varsayım kısıtlarını modelleme.
x1≥2x2x_1 \geq 2x_2 ifadesinden x1−2x2≥0x_1 - 2x_2 \geq 0 kısıtı elde edilir ve nicelik ifade edildiğinden x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0 şartı eklenir.
Standart otobüs sayısının körüklü otobüsün iki katı olması gerektiği sözel orantısı mantıksal bir denkleme dönüştürülür ve araç sayısı negatif olamaz.

Key Concept

Sözel İfadelerin Doğrusal Eşitsizliklere Çevrilmesi ve Model Kurulumu
Rate this question

Topics

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

More questions from this topic