Examkin

Question

Difficulty: MediumDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir küçük tamir atölyesinde aynı anda en fazla 2 cihaz bulunabilmektedir (sistem kapasitesi K=2K=2). Atölyedeki cihaz sayısına (nn) bağlı olarak geliş hızları (λn\lambda_n) ve hizmet hızları (μn\mu_n) saatlik birimler cinsinden şu şekilde tanımlanmıştır:

λ0=4,λ1=2,λ2=0\lambda_0 = 4, \quad \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 0
μ1=4,μ2=4\mu_1 = 4, \quad \mu_2 = 4

Bu sistemin doğum-ölüm süreci (birth-death process) varsayımlarına uygun olarak denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, atölyenin tamamen boş olma olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. A
    0,25
  2. B
    0,30
  3. 0,40Answer
  4. D
    0,50
  5. E
    0,60

Answer

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.
Denge denklemleri kurulduğunda P1=P0P_1 = P_0 ve P2=0,5P0P_2 = 0,5P_0 bağıntıları elde edilir. Bu olasılıkların toplamı olan P0+P0+0,5P0=2,5P0=1P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 2,5P_0 = 1 eşitliğinden P0=0,40P_0 = 0,40 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Denge durumundaki olasılık oranlarını (PnP_n) hesaplamak için genel formülü kullanın.
Pn=λ0λ1…λn−1μ1μ2…μnP0P_n = \frac{\lambda_0 \lambda_1 \dots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \mu_2 \dots \mu_n} P_0
Doğum-ölüm süreçlerinde her durumun olasılığı, boş durum olasılığı (P0P_0) cinsinden ifade edilebilir.
2
P1P_1 değerini P0P_0 cinsinden hesaplayın.
P1=λ0μ1P0=44P0=1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{4}{4} P_0 = 1 P_0
Sistemde 1 cihaz olma olasılığı, 0'dan 1'e geçiş hızı ile 1'den 0'a dönüş hızı arasındaki orana bağlıdır.
3
P2P_2 değerini P0P_0 cinsinden hesaplayın.
P2=λ1μ2P1=24(1P0)=0,5P0P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{2}{4} (1 P_0) = 0,5 P_0
Sistemde 2 cihaz olma olasılığı, bir önceki durumun olasılığına ve o durumlar arasındaki geçiş hızlarına bağlıdır.
4
Tüm durum olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyerek P0P_0 değerini bulun.
P0+P1+P2=1⇒P0+1P0+0,5P0=1⇒2,5P0=1⇒P0=0,4P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 1 P_0 + 0,5 P_0 = 1 \Rightarrow 2,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 0,4
Olasılıkların toplamı (normalizasyon koşulu) her zaman 1 olmalıdır.

Key Concept

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Normalizasyon Koşulu

Hints

1
Her durumun olasılığını P0P_0 cinsinden ifade eden denge denklemlerini yazın.
2
P1=(λ0/μ1)P0P_1 = (\lambda_0 / \mu_1)P_0 ve P2=(λ1/μ2)P1P_2 = (\lambda_1 / \mu_2)P_1 olduğunu unutmayın.
3
P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 eşitliğindeki katsayıların toplamı 2,5 olacaktır.

Practice More

Aynı sistemde atölyedeki beklenen cihaz sayısını (L) hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

More questions from this topic