Examkin

Question

Difficulty: MediumOrtak Olasılık Fonksiyonları

Bir elektronik sistemdeki iki temel bileşenin arızalanma süreleri (yıl cinsinden) XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
f(x,y)={c⋅x2⋅y,0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} c \cdot x^2 \cdot y, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, sistemin olasılık modelinin geçerli olmasını sağlayan cc sabitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    44
  2. B
    66
  3. C
    1010
  4. 1515Answer
  5. E
    2424

Answer

Sistemin olasılık modelinin geçerli olmasını sağlayan c sabiti 15'tir.
Sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun en temel özelliği, fonksiyonun tanımlı olduğu bölge üzerindeki çift katlı integralinin 1'e eşit olmasıdır. Verilen 0<x<y<10 < x < y < 1 sınırlarına göre dış integral yy (00'dan 11'e), iç integral xx (00'dan yy'ye) olarak kurulur. ∫01(∫0yc⋅x2⋅y dx) dy\int_0^1 \left( \int_0^y c \cdot x^2 \cdot y \,dx \right) \,dy işlemi adım adım çözüldüğünde c15\frac{c}{15} sonucu elde edilir. Toplam olasılık 1 olması gerektiğinden c15=1\frac{c}{15} = 1 denklemi çözülerek sabitin değeri 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam Olasılık Kuralının Denklemini Kurma
∫∫f(x,y) dx dy=1\int \int f(x,y) \,dx\,dy = 1 eşitliği yazılır.
Sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonlarının geçerli olabilmesi için tüm tanımlı uzay üzerindeki integralinin (hacminin) 1'e eşit olması zorunludur.
2
İntegral Sınırlarının Belirlenmesi
Bölge 0<x<y<10 < x < y < 1 olduğundan, dış integral yy için 00'dan 11'e, iç integral xx için 00'dan yy'ye kadar sınırlandırılır.
İki katlı integralde içteki değişkenin sınırları dıştaki değişkene bağlı olarak tanımlanmalıdır.
3
İç İntegralin (x'e göre) Hesaplanması
∫0yc⋅x2⋅y dx=c⋅y[x33]0y=c⋅y⋅y33=c3y4\int_0^y c \cdot x^2 \cdot y \,dx = c \cdot y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y = c \cdot y \cdot \frac{y^3}{3} = \frac{c}{3} y^4
İç integralde yy sabit gibi düşünülerek sadece xx'e göre integral alınır ve sınırlar yerine konur.
4
Dış İntegralin (y'ye göre) Hesaplanması
∫01c3y4 dy=c3[y55]01=c3⋅15=c15\int_0^1 \frac{c}{3} y^4 \,dy = \frac{c}{3} \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^1 = \frac{c}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{c}{15}
İç integralden elde edilen sonuç, dış değişken olan yy'ye göre entegre edilerek tüm hacim hesaplanır.
5
Sabitin Değerinin Bulunması
c15=1  ⟹  c=15\frac{c}{15} = 1 \implies c = 15
Bulunan toplam hacim değeri kural gereği 1'e eşitlenerek bilinmeyen katsayı hesaplanır.

Key Concept

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarında iki katlı integral ve normalizasyon (toplam olasılığın 1 olması) şartı.

Alternative Method

İki katlı integralde bölge sınırlarını belirlerken integrasyon sırası da değiştirilebilir. Dış integrali x'e göre (0<x<10 < x < 1), iç integrali y'ye göre (x<y<1x < y < 1) aldığımızda işlem şu şekilde olur: ∫01∫x1c⋅x2⋅y dy dx=∫01c⋅x2[y22]x1 dx=∫01c2(x2−x4) dx=c2[x33−x55]01=c2(13−15)=c2(215)=c15\int_0^1 \int_x^1 c \cdot x^2 \cdot y \,dy\,dx = \int_0^1 c \cdot x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_x^1 \,dx = \int_0^1 \frac{c}{2} (x^2 - x^4) \,dx = \frac{c}{2} \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{c}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \frac{c}{2} \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{c}{15}. Sonuç yine değişmez ve c = 15 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ortak Olasılık Fonksiyonları