Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x, y) = 1 (0 < x < 1, 0 < y < 1) olarak verilen X ve … — KPSS İstatistik

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri için $U = 5X$ ve $V = 3Y + 4$ dönüşümleri tanımlanmıştır. Buna göre, $(U, V)$ rastgele değişken çiftinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7$ Answer
B
$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7$
C
$h(u, v) = 15, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7$
D
$h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
E
$h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 0 < v < 3$

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = \frac{1}{15}

olup tanım aralığı

0 < u < 5

4 < v < 7

şeklindedir.

Verilen doğrusal dönüşümler sonucunda ters dönüşümler

x = u/5

y = (v-4)/3

olarak bulunur. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

1/15

olup, sabit olan orijinal yoğunluk fonksiyonu (1) ile çarpıldığında yeni yoğunluk

1/15

olur. Sınırlar ise

x

y

'nin

(0, 1)

aralığında olması kuralına göre

u

için

(0, 5)

v

için

(4, 7)

olarak güncellenir.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini yazınız.

X = \frac{U}{5}

Y = \frac{V - 4}{3}

Orijinal değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek Jakobiyen hesabı için gereklidir.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayınız.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/5 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{vmatrix} = \frac{1}{15}

Çok değişkenli dönüşümlerde yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

Yeni yoğunluk fonksiyonunu (

h(u, v)

) oluşturunuz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{15}

Dönüşüm formülü gereği

h(u, v) = f(g_1^{-1}, g_2^{-1}) \cdot |J|

işlemi uygulanır.

Yeni değişkenlerin sınırlarını belirleyiniz.

0 < \frac{u}{5} < 1 \Rightarrow 0 < u < 5

0 < \frac{v - 4}{3} < 1 \Rightarrow 4 < v < 7

Dönüşümün geçerli olduğu yeni bölgeyi belirlemek için orijinal sınırlar yeni değişkenler cinsinden yazılmalıdır.

Key Concept

Jakobiyen dönüşüm yöntemi, çok değişkenli sürekli rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının olasılık yoğunluk fonksiyonlarını belirlemek için kullanılır.

Practice More

Değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu (örneğin

U = X + Y

V = X - Y

) durumlar için Jakobiyen yöntemini çalışarak karmaşık sınır geçişlerini pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics