f gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, h(x) = f(x^2 + x) \neşitliği veriliyor. f'(2) = 5 olduğuna göre, h'(1) değeri kaçtır?

f gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, h(x) = f(x^2 + x) \ne… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f$ gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

h(x) = f(x^2 + x)

eşitliği veriliyor.

$f'(2) = 5$ olduğuna göre, $h'(1)$ değeri kaçtır?

A
5
B
8
C
10
15Answer
E
25

Answer

15 değeri doğrudur.

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre,

h(x) = f(g(x))

ise

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

olur. Burada

g(x) = x^2 + x

olarak seçildiğinde

g'(x) = 2x + 1

olur. Dolayısıyla

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)

elde edilir.

x = 1

için

h'(1) = f'(2) \cdot 3

olur. Bize

f'(2) = 5

olarak verildiğinden,

h'(1) = 5 \cdot 3 = 15

bulunur. Bu nedenle 15 cevabı doğrudur.

Step-by-Step Solution

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (x^2 + x)'

yani

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)

elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alındıktan sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarpılması gerekir.

Elde edilen türev denkleminde x yerine 1 yazılır.

h'(1) = f'(1^2 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)

yani

h'(1) = f'(2) \cdot 3

elde edilir.

Bizden istenen

h'(1)

değerini hesaplamak için denklemde

x = 1

noktası değerlendirilir.

Verilen

f'(2) = 5

değeri yerine yazılarak çarpma işlemi tamamlanır.

h'(1) = 5 \cdot 3 = 15

bulunur.

Soruda verilen sayısal değerler kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan yazılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic