Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için h(x) = f(x^2 \cdot g(x)) biçiminde tanımlanıyor. g(2) = 1, g'(2) = -3 ve f'(4) = 5 olduğuna göre, h'(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için h(x) = … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

g

fonksiyonları için

h(x) = f(x^2 \cdot g(x))

biçiminde tanımlanıyor.

g(2) = 1

g'(2) = -3

f'(4) = 5

olduğuna göre,

h'(2)

değeri kaçtır?

-40

Bileşke fonksiyonun türevi ve çarpım türevi kuralları sırasıyla uygulanarak

h'(x) = f'(x^2 \cdot g(x)) \cdot (2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x))

ifadesi elde edilir.

x = 2

için verilen değerler yerine konulduğunda doğru sonuç

-40

olarak hesaplanır.

Bileşke fonksiyon türevi kuralını uygulayarak

h'(x)

ifadesini yazın.

h'(x) = f'(x^2 \cdot g(x)) \cdot (x^2 \cdot g(x))'

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyonun türeviyle çarpılmalıdır.

İçteki

x^2 \cdot g(x)

ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.

(x^2 \cdot g(x))' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)

İki fonksiyonun çarpımının türevi; birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklinde hesaplanır.

Türev fonksiyonunda

x = 2

yazarak verilen değerleri yerine yerleştirin.

h'(2) = f'(4 \cdot g(2)) \cdot (4 \cdot g(2) + 4 \cdot g'(2))

h'(2) = f'(4 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 1 + 4 \cdot (-3))

h'(2) = f'(4) \cdot (4 - 12)

h'(2) = 5 \cdot (-8) = -40

Soruda verilen

g(2) = 1

g'(2) = -3

f'(4) = 5

değerlerini kullanarak

h'(2)

değerini bulmak için.

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır:

(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

. Eğer içteki fonksiyon çarpım durumundaysa çarpım türevi kuralı da kullanılmalıdır.