Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=∣x2−2x∣y = |x^2 - 2x| eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. 136\frac{13}{6}Answer
  2. B
    92\frac{9}{2}
  3. C
    72\frac{7}{2}
  4. D
    2
  5. E
    12\frac{1}{2}

Answer

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 13/6 birimkaredir.
Verilen iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Sınırlı alanlar [0,1][0, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarında oluşur. [0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde kaldığı için ∫01(2x−x2−x)dx=1/6\int_0^1 (2x-x^2 - x) dx = 1/6 olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde kalır ve bu integral x=2x=2 noktasında parçalanarak hesaplandığında 2 birimkare bulunur. İkisinin toplamı 13/6 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Eğri ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulmak için ∣x2−2x∣=x|x^2 - 2x| = x denklemini çözelim.
x≥2x \ge 2 veya x≤0x \le 0 için x2−2x=x⇒x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 2x = x \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=3x = 3. 0<x<20 < x < 2 için −(x2−2x)=x⇒x(x−1)=0⇒x=1-(x^2 - 2x) = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1. Böylece kesim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Sınırlı bölgelerin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Bölgelerin alan formüllerini integral cinsinden yazalım.
[0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde olduğundan alan S1=∫01(∣x2−2x∣−x) dxS_1 = \int_{0}^{1} (|x^2 - 2x| - x) \, dx olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde olduğundan alan S2=∫13(x−∣x2−2x∣) dxS_2 = \int_{1}^{3} (x - |x^2 - 2x|) \, dx olur.
Alan hesaplanırken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
[0,1][0, 1] aralığındaki S1S_1 alanını hesaplayalım.
[0,1][0, 1] aralığında x2−2x≤0x^2 - 2x \le 0 olduğundan ∣x2−2x∣=2x−x2|x^2 - 2x| = 2x - x^2 olur. S1=∫01(2x−x2−x) dx=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16S_1 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
Belirli integral alma kuralları uygulanarak ilk bölgenin alanı bulunur.
4
[1,3][1, 3] aralığındaki S2S_2 alanını hesaplayalım. x=2x = 2 noktası mutlak değerin kritik noktası olduğundan integrali bu noktadan parçalayalım.
S2=∫12(x−(2x−x2)) dx+∫23(x−(x2−2x)) dx=∫12(x2−x) dx+∫23(3x−x2) dx=[x33−x22]12+[3x22−x33]23=(23−(−16))+(92−103)=56+76=2S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \, dx + \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_2^3 = \left( \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) \right) + \left( \frac{9}{2} - \frac{10}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2 birimkaredir.
İntegralin sınırları içindeki mutlak değer ifadesinin işareti kritik noktaya göre değiştiğinden parçalı entegrasyon uygulanır.
5
Toplam alanı hesaplayalım.
S1+S2=16+2=136S_1 + S_2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} birimkare elde edilir.
İki ayrı sınırlı bölgenin alanlarının toplamı istenen sonucu verir.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması ve mutlak değerli integrallerde kritik noktalara göre parçalama yapılması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

More questions from this topic