Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
sin⁡x1−sin⁡2x+cos⁡x1−cos⁡2x\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot xAnswer
  2. B
    tan⁡x+cot⁡x\tan x + \cot x
  3. C
    cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x
  4. D
    −tan⁡x−cot⁡x-\tan x - \cot x
  5. E
    0

Answer

tan x - cot x
Dördüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif, sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Karekök içindeki tam kare ifadeler dışarıya mutlak değer ile çıkarılır. Buna göre, cos⁡2x=∣cos⁡x∣=cos⁡x\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| = \cos x ve sin⁡2x=∣sin⁡x∣=−sin⁡x\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x olur. Bu değerler yerlerine yazıldığında ifade sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} haline gelir. Tanjant ve kotanjant tanımlarından faydalanılarak bu ifade tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x şeklinde sadeleşir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içerisindeki ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düzenleme.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşlikleri kullanılarak ifade sin⁡xcos⁡2x+cos⁡xsin⁡2x\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} şeklinde yazılır.
Kök dışına çıkarma işlemini gerçekleştirmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.
2
Kareköklü ifadeleri mutlak değer kullanarak kök dışına çıkarma.
cos⁡2x=∣cos⁡x∣\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| ve sin⁡2x=∣sin⁡x∣\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| olduğundan ifade sin⁡x∣cos⁡x∣+cos⁡x∣sin⁡x∣\frac{\sin x}{|\cos x|} + \frac{\cos x}{|\sin x|} haline gelir.
Çift dereceli köklerin dışına çıkan ifadelerin işaretini doğru belirlemek için mutlak değer kullanılır.
3
Verilen aralığa göre mutlak değerlerin işaretini belirleyip sadeleştirme yapma.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı 4. bölgede olduğundan bu bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve sin⁡x<0\sin x < 0 olur. Dolayısıyla ∣cos⁡x∣=cos⁡x|\cos x| = \cos x ve ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar. İfade sin⁡xcos⁡x+cos⁡x−sin⁡x=tan⁡x−cot⁡x\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{-\sin x} = \tan x - \cot x şeklinde sadeleşir.
4. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret kuralları uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Belirleme
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic