Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisi için, \frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8 a_1 + a_3 = 30 \neşitlikleri veriliyor. Buna g��re, bu dizinin ilk terimi (a_1) kaçtır?

Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisi için, \frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8 a_1 + a_3… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisi için,

\frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8

a_1 + a_3 = 30

eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

Dizinin ilk terimi 6'dır.

Ortak çarpanı

r = 2

olan pozitif terimli geometrik dizide

a_1 + a_3 = 30

eşitliği

a_1 + a_1 \cdot 2^2 = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6

sonucunu verir. Bu nedenle ilk terim 6'dır.

Geometrik dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

ifadesini kullanarak verilen ilk eşitlikteki terimleri

a_1

r

cinsinden yazıp sadeleştirelim.

a_7 = a_1 \cdot r^6

a_5 = a_1 \cdot r^4

a_4 = a_1 \cdot r^3

a_2 = a_1 \cdot r

yazılır. Buradan oran

\frac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r} = \frac{a_1 \cdot r^4 (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r (r^2 - 1)} = r^3

olarak elde edilir.

Eşitlikteki terimleri ortak çarpan cinsinden sadeleştirerek ortak çarpan

r

değerini bulmak için.

Bulunan

r^3 = 8

eşitliğinden dizinin ortak çarpanı olan

r

değerini hesaplayalım.

r^3 = 8 \Rightarrow r = 2

bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif bir gerçel sayıdır (

r = 2

İkinci denklemde yerine yazarak ilk terimi bulabilmek için ortak çarpan değerine ihtiyacımız vardır.

İkinci denklemde

a_3

terimini

a_1

r

cinsinden yazıp,

r = 2

değerini yerine koyarak

a_1

değerini hesaplayalım.

a_1 + a_3 = 30 \Rightarrow a_1 + a_1 \cdot r^2 = 30 \Rightarrow a_1(1 + r^2) = 30 \Rightarrow a_1(1 + 2^2) = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6

elde edilir.

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değerini bulmak için.

Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabittir ve genel terim

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

formülüyle bulunur.