Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı
f(x)=x3f(x) = x^3 fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığındaki grafiği ile xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin gerçek alanı SS birimkaredir.

Bu [0,2][0, 2] aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek f(x)f(x) fonksiyonu için Riemann alt toplamı AA ve Riemann üst toplamı BB hesaplanıyor.

Buna göre, gerçek alan SS ile Riemann alt ve üst toplamlarının aritmetik ortalaması olan A+B2\frac{A+B}{2} değeri arasındaki fark ∣S−A+B2∣|S - \frac{A+B}{2}| kaç birimkaredir?

  1. A
    18\frac{1}{8}
  2. 14\frac{1}{4}Answer
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    1
  5. E
    54\frac{5}{4}

Answer

Gerçek alan ile Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması arasındaki fark 1/4 birimkaredir.
Gerçek alan belirli integral ile 4 olarak bulunur. Riemann alt toplamı 2,25 ve Riemann üst toplamı 6,25 olarak hesaplanır. Bu iki toplamın aritmetik ortalaması 4,25'tir. Gerçek alan ile ortalama arasındaki fark ise 0,25 yani 1/4 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.
\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2} = 0,5
Riemann toplamı hesabı için aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.
2
Alt aralıkları belirleyin ve Riemann alt toplamını (A) hesaplayın.
A = 0,5 \cdot (f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)) = 2,25
f(x) = x^3 artan bir fonksiyon olduğu için alt toplam sol uç noktalarda alınır.
3
Riemann üst toplamını (B) hesaplayın.
B = 0,5 \cdot (f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)) = 6,25
f(x) = x^3 artan bir fonksiyon olduğu için üst toplam sağ uç noktalarda alınır.
4
��ki toplamın aritmetik ortalamasını bulun.
\frac{A + B}{2} = \frac{2,25 + 6,25}{2} = 4,25
Soruda gerçek alan ile aritmetik ortalama arasındaki fark istendiği için.
5
Bölgenin gerçek alanını (S) belirli integral yardımıyla hesaplayın.
S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4
Fonksiyon pozitif tanımlı olduğundan eğri altındaki gerçek alan belirli integrale eşittir.
6
Gerçek alan ile ortalama arasındaki mutlak farkı bulun.
|S - 4,25| = |4 - 4,25| = 0,25 = \frac{1}{4}
İstenen fark değerine ulaşmak için.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral (gerçek alan) ile ilişkisi ve hesaplanması.
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic