Examkin

Question

Difficulty: HardArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x2−4x+3)(x2−2x−8)f'(x) = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x - 8)
olarak verilmektedir.
Buna göre, g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 3

Answer

İşaret tablosu analizi sonucunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp zincir kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunun işaret tablosu incelenir. Pozitif olduğu aralıklar belirlenerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alınız.
g′(x)=(2−2x)⋅f′(2x−x2)=2(1−x)⋅f′(2x−x2)g'(x) = (2 - 2x) \cdot f'(2x - x^2) = 2(1-x) \cdot f'(2x - x^2)
Bileşke fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türev fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine 2x−x22x - x^2 yazarak f′(2x−x2)f'(2x - x^2) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
f′(u)=(u−1)(u−3)(u−4)(u+2)f'(u) = (u-1)(u-3)(u-4)(u+2) ifadesinde u=2x−x2u = 2x - x^2 yazıldığında; f′(2x−x2)=−(x−1)2⋅[−(x2−2x+3)]⋅[−(x2−2x+4)]⋅[−(x2−2x−2)]f'(2x-x^2) = -(x-1)^2 \cdot [-(x^2 - 2x + 3)] \cdot [-(x^2 - 2x + 4)] \cdot [-(x^2 - 2x - 2)] elde edilir.
g′(x)g'(x) ifadesinin işaretini belirleyebilmek için f′(2x−x2)f'(2x - x^2) bileşeninin tüm çarpanlarını analiz etmeliyiz.
3
Tüm çarpanlar�� birleştirerek g′(x)g'(x) türev fonksiyonunun işaretini belirleyen sadeleşmiş ifadeyi yazınız.
g′(x)=−2(x−1)3(x2−2x+3)(x2−2x+4)(x2−2x−2)g'(x) = -2 (x-1)^3 (x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x + 4) (x^2 - 2x - 2) olur. Burada x2−2x+3>0x^2 - 2x + 3 > 0 ve x2−2x+4>0x^2 - 2x + 4 > 0 daima pozitif olduğundan, işaret yalnızca −2(x−1)3(x2−2x−2)-2(x-1)^3(x^2-2x-2) ifadesine bağlıdır.
Daima pozitif olan çarpanlar işaret tablosundaki işaret değişimini etkilemezler, bu nedenle kökleri ve işaret değişimini belirleyen kritik çarpanlara odaklanılır.
4
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulunuz ve işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler x=1x = 1 (tek katlı), x=1−3x = 1 - \sqrt{3} (tek katlı) ve x=1+3x = 1 + \sqrt{3} (tek katlı) şeklindedir. İşaret tablosunda g′(x)g'(x)'in işareti sağdan sola sırasıyla −-, ++, −-, ++ şeklinde değişir. Böylece artan olduğu aralıklar (−∞,1−3](-\infty, 1 - \sqrt{3}] ve [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar, fonksiyonun artan olduğu aralıklara karşılık gelir.
5
Artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyip toplamını bulunuz.
1−3≈−0.731 - \sqrt{3} \approx -0.73 olduğundan birinci aralıkta pozitif tam sayı yoktur. İkinci aralık olan [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] aralığında 1+3≈2.731 + \sqrt{3} \approx 2.73 olduğundan bu aralıktaki pozitif tam sayılar 11 ve 22'dir. Toplamları ise 1+2=31 + 2 = 3 olur.
Soru bizden artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic