Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
[0,3][0, 3] kapalı aralığı, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor.
- AA, bu bölüntüye ait sol uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- BB, bu bölüntüye ait sağ uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri
olduğuna göre; AA, BB ve II değerleri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
  1. B<I<AB < I < AAnswer
  2. B
    A<I<BA < I < B
  3. C
    I<B<AI < B < A
  4. D
    B<A<IB < A < I
  5. E
    A<B<IA < B < I

Answer

Sol uç noktalarla hesaplanan toplamın integralden büyük, sağ uç noktalarla hesaplanan toplamın ise integralden küçük olduğunu gösteren sıralama doğrudur.
Doğru sıralama olan B<I<AB < I < A ifadesi, f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında azalan olmasından kaynaklanır. Azalan fonksiyonlarda sol uç noktalar yardımıyla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (AA) eğrinin üzerinde kalarak üst toplamı oluştururken, sağ uç noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (BB) eğrinin altında kalarak alt toplamı oluşturur. Belirli integralin değeri (II) ise bu iki toplam arasında yer alır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun incelenmesi
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, (0,3](0, 3] aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır.
Riemann toplamlarının integral değeriyle olan ilişkisini belirlemek amacıyla fonksiyonun karakteri tespit edilir.
2
Riemann toplamları ile belirli integral ilişkisinin teorik olarak kurulması
Azalan bir fonksiyonda, her alt aralıkta maksimum değer sol uç noktada, minimum değer ise sağ uç noktada alınır. Dolayısıyla sol uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (AA) Riemann üst toplamını (A=U¨st ToplamA = \text{Üst Toplam}); sağ uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (BB) ise Riemann alt toplamını (B=Alt ToplamB = \text{Alt Toplam}) oluşturur. Sürekli ve azalan fonksiyonlar için bu değerler arasında B<∫03f(x) dx<AB < \int_0^3 f(x) \, dx < A ilişkisi mevcuttur.
Azalan fonksiyonlarda sol uç değerlerin daima sağ uç değerlerden büyük olması eşitsizliğin yönünü belirler.
3
Sayısal hesaplama ile sonucun teyit edilmesi
Aralık genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1'dir. Alt aralıklar: [0,1][0,1], [1,2][1,2], [2,3][2,3]'tür.
- A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=12+11+8=31A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 12 + 11 + 8 = 31
- B=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=11+8+3=22B = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 11 + 8 + 3 = 22
- I=∫03(12−x2) dx=[12x−x33]03=36−9=27I = \int_0^3 (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 36 - 9 = 27
Sayısal değerler karşılaştırıldığında 22<27<3122 < 27 < 31 yani B<I<AB < I < A sıralaması doğrulanır.
Teorik analizin doğruluğu sayısal hesaplama adımlarıyla kesinleştirilir.

Key Concept

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic