a bir gerçel sayı olmak üzere, f(x) = x^2 - \frac{4}{x} + a\sqrt{x} fonksiyonu x > 0 için … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^2 - \frac{4}{x} + a\sqrt{x}

fonksiyonu

x > 0

için tanımlanmıştır.

f'(4) = 9

olduğuna göre,

a

kaçtır?

Doğru türev alma kuralları uygulanarak elde edilen 3 değeri

Fonksiyonun türevi alınıp

x = 4

değeri yerine yazıldığında

a

değeri 3 olarak bulunur.

Verilen fonksiyonu türev almaya uygun şekilde üslü ifade biçiminde düzenleyelim.

f(x) = x^2 - 4x^{-1} + a \cdot x^{1/2}

Üs kuralını kolayca uygulayabilmek için rasyonel ve köklü ifadeleri üslü biçime çeviriyoruz.

Türev alma kuralını (

[x^n]' = n \cdot x^{n-1}

) her bir terime uygulayarak fonksiyonun türevini alalım.

f'(x) = 2x - 4(-1)x^{-2} + a \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{4}{x^2} + \frac{a}{2\sqrt{x}}

Türev fonksiyonunu elde etmek için.

Türev fonksiyonunda

x = 4

yazalım, sonucu 9'a eşitleyip

a

değerini bulalım.

f'(4) = 2(4) + \frac{4}{4^2} + \frac{a}{2\sqrt{4}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{a}{4} = 9 \implies \frac{33+a}{4} = 9 \implies 33 + a = 36 \implies a = 3

Verilen

f'(4) = 9

eşitliğini kullanarak bilinmeyen

a

değerine ulaşmak için.

Temel türev alma kuralları ve üs kuralının uygulanması.

Question