Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡65=a\log_6 5 = a
log⁡52=b\log_5 2 = b
olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 2ab+1a−ab+1\frac{2ab + 1}{a - ab + 1}Answer
  2. B
    2ab+1a+ab+1\frac{2ab + 1}{a + ab + 1}
  3. C
    2ab+1ab−a+1\frac{2ab + 1}{ab - a + 1}
  4. D
    2ab+11−ab\frac{2ab + 1}{1 - ab}
  5. E
    3ab+1a−ab+1\frac{3ab + 1}{a - ab + 1}

Answer

2ab+1a−ab+1\frac{2ab + 1}{a - ab + 1} ifadesidir.
Doğru seçenekteki ifade, taban değiştirme kuralı uygulanıp tüm logaritma terimleri 5 tabanına çevrildiğinde elde edilen cebirsel sadeleştirme adımlarını eksiksiz ve doğru bir şekilde takip eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme kuralı kullanarak 5 tabanına dönüştürmek.
log⁡56=1a\log_5 6 = \frac{1}{a} ve log⁡52=b\log_5 2 = b elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak bir tabanda yazarak işlemleri kolaylaştırmak.
2
log⁡56\log_5 6 ifadesini log⁡5(2⋅3)=log⁡52+log⁡53\log_5 (2 \cdot 3) = \log_5 2 + \log_5 3 şeklinde yazarak log⁡53\log_5 3 değerini yalnız bırakmak.
b+log⁡53=1a  ⟹  log⁡53=1a−b=1−abab + \log_5 3 = \frac{1}{a} \implies \log_5 3 = \frac{1}{a} - b = \frac{1 - ab}{a} bulunur.
Bulunan log⁡52\log_5 2 ve log⁡53\log_5 3 değerlerini aranan ifadede yerine koyabilmek.
3
Aranan log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı ile 5 tabanında yazmak.
log⁡1524=log⁡524log⁡515=log⁡5(23⋅3)log⁡5(3⋅5)=3log⁡52+log⁡53log⁡53+1\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15} = \frac{\log_5 (2^3 \cdot 3)}{\log_5 (3 \cdot 5)} = \frac{3\log_5 2 + \log_5 3}{\log_5 3 + 1} elde edilir.
Taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi bilinen terimler cinsinden ifade etmek.
4
Elde edilen log⁡52=b\log_5 2 = b ve log⁡53=1−aba\log_5 3 = \frac{1 - ab}{a} değerlerini yerine yazıp ifadeyi sadeleştirmek.
3b+1−aba1−aba+1=3ab+1−aba1−ab+aa=2ab+1a−ab+1\frac{3b + \frac{1-ab}{a}}{\frac{1-ab}{a} + 1} = \frac{\frac{3ab + 1 - ab}{a}}{\frac{1 - ab + a}{a}} = \frac{2ab + 1}{a - ab + 1} bulunur.
En sade aa ve bb cinsinden ifadeyi bulmak.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma fonksiyonunun temel özellikleri kullanılarak cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesi.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic