x, y ve z 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \log_2 x + \log_4 (yz) = 2 \log… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

y

z

1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_2 x + \log_4 (yz) = 2

\log_3 y + \log_9 (xz) = 2

\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2

denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, $\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Answer: 4

Answer

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.

Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Logaritma tabanlarını eşitleme

\log_2(x^2 y z) = 4

\log_3(y^2 x z) = 4

\log_5(z^2 x y) = 4

\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b

\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)

özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.

Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme

x^2 y z = 16

y^2 x z = 81

z^2 x y = 625

\log_a b = c \iff a^c = b

tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.

Denklemleri taraf tarafa çarpma

(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30

Değişkenlerin çarpımını (

xyz

) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.

x

y

değişkenlerini bulma

x = \frac{8}{15}

y = \frac{27}{10}

x^2 y z = x(xyz) = 16

y^2 x z = y(xyz) = 81

eşitliklerinde

xyz = 30

değerini yerine yazmak.

\frac{y}{x}

oranını ve logaritma değerini hesaplama

\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4

\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4

1,5 = \frac{3}{2}

eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic