Examkin

Question

Difficulty: MediumArtan ve Azalan Fonksiyonlar
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=13x3+a2x2+bx+5f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + bx + 5
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Answer: 16

Answer

İstenen çarpım değeri 16'dır.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olduğundan, birinci türevin kökleri −2-2 ve 44 olmalıdır. Buradan türev fonksiyonunun katsayıları a=−2a = -2 ve b=−8b = -8 olarak bulunur ve çarpımları 16 eder.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=x2+ax+bf'(x) = x^2 + ax + b
Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık şartı kullanılarak türevin kökleri belirlenir.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=−2x_1 = -2 ve x2=4x_2 = 4 olur.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] ise, türev fonksiyonu bu aralıkta negatif veya sıfır (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) değerler almalı ve uç noktalarda sıfıra eşit olmalıdır.
3
Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (Vieta formülleri) kullanılarak aa ve bb katsayıları bulunur.
a=−2a = -2 ve b=−8b = -8
x1+x2=−a  ⟹  −2+4=−a  ⟹  a=−2x_1 + x_2 = -a \implies -2 + 4 = -a \implies a = -2 ve x1⋅x2=b  ⟹  (−2)⋅4=b  ⟹  b=−8x_1 \cdot x_2 = b \implies (-2) \cdot 4 = b \implies b = -8 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımı hesaplanır.
a⋅b=(−2)⋅(−8)=16a \cdot b = (-2) \cdot (-8) = 16
Soruda bizden istenen katsayılar çarpımını bulmak için.

Key Concept

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklarda türevi negatif veya sıfırdır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic